Определенный интеграл. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции

1.

§22. Определенный интеграл
п.1. Задача о вычислении площади
криволинейной трапеции.
Криволинейной трапецией называется
часть плоскости, ограниченная графиком
функции
, прямыми
,
и отрезком оси Ox.
y
O
a
b
x

2.

y
z1
O
a
z2
zi
zn
b
x
─ площадь
прямоугольника

3.

─ интегральная сумма
С уменьшением
точность приближения
криволинейной трапеции ступенчатой фигурой
увеличивается.

4.

За точное значение площади S принимается
предел интегральной суммы
, когда n
неограниченно возрастает так, что

5.

Если интегральная сумма имеет предел I,
который не зависит ни от способа разбиения
отрезка
, ни от выбора точек , то этот
предел называется определенным интегралом
от функции
на отрезке
и
обозначается

6.

Геометрический смысл определенного
интеграла
Определенный интеграл от неотрицательной
функции численно равен площади
криволинейной трапеции.

7.

п.2. Свойства определенного
интеграла.
1.

8.

2.
Доказательство.

9.

3.
Доказательство.

10.

4.
Доказательство.
─ разбиение отрезка

11.

5.
Доказательство.

12.

6.
Доказательство.
Св-во 3
Св-во 5

13.

7.
Доказательство.
Св-во 6
Св-во 2

14.

15.

8.
Теорема 1. (О среднем значении
определенного интеграла)
Пусть
функция
Тогда
существует точка
непрерывна на отрезке
такая, что
.

16.

Геометрический смысл.
Если
, то определенный интеграл
равен площади некоторого прямоугольника с
высотой
и основанием
.
y f (x)
y
O
a
c
b
x

17.

Доказательство.
Вторая теорема Вейерштрасса §7
Св-во 7

18.

Вторая теорема Больцано–Коши §7