«Определённый интеграл. Вычисление площади криволинейной трапеции»

1.

«Определённый интеграл.
Вычисление площади
криволинейной трапеции»

2.

Задача 1.
В декартовой прямоугольной системе
координат
х0у
дана
фигура,
ограниченная осью 0х, прямыми х=а, х=b
(а< b) и графиком непрерывной и
неотрицательной на отрезке [а; b]
функции y=f(x); назовём эту фигуру
криволинейной трапецией. Требуется
вычислить
площадь
криволинейной
трапеции.

3.

у
Разобьём отрезок [а;b]
(основание
криволинейной трапеции)
на n равных частей; это
разбиение осуществим с
помощью точек х1, х2, х3, …,
xk, xk+1, …, xn-1.
Тогда заданная трапеция
разобьётся на n узеньких
столбиков. Площадь всей
трапеции равна сумме
площадей столбиков.
0
a
x1 x2
x3
xk xk+1
хn-1 b
х

4.

у
Рассмотрим отдельно k-ый
столбик, т.е.
криволинейную трапецию,
основанием которой
служит отрезок [х k ; х k+1].
Заменим его
прямоугольником с тем же
основанием и высотой,
равной f(х k ).
Площадь прямоугольника
равна f(х k )·Δх, где Δх –
длина отрезка [х k ; х k+1];
естественно считать
составленное произведение
приближённым значением
площади k-го столбика.
0
a
x1 x2
x3
xk xk+1
xn-1 b
х

5.

у
0
Если теперь сделать то же
самое со всеми остальными
столбиками, то придём к
следующему результату:
площадь заданной
криволинейной трапеции
приближённо равна площади Sn
ступенчатой фигуры,
составленной из n
прямоугольников. Имеем:
Sn= f(x0)Δx0 + f(x1)Δx1 + f(x2)Δx2 +
+ … + f(xk)Δxk + … + f(xn-1)Δxn-1.
Здесь ради единообразия
обозначений мы считаем что
а=х0, b=хn, Δx0 – длина отрезка
[x0; x1], Δx1 –длина отрезка
[x1; x2] и т.д.
Итак, S ≈ Sn, причём это
приближённое равенство тем
больше, чем больше n.
a
x1 x2
x3
xk xk+1
xn-1 b
х

6.

Принято считать, что искомая
площадь есть предел
последовательности (Sn)

7.

Понятие о криволинейной
трапеции. Определённый интеграл
Фигура, ограниченная неотрицательной на отрезке
[a;b] функцией y=f(x) и прямыми у=0, x=a, x=b
называется
криволинейной трапецией.

8.

Площадь криволинейной трапеции можно вычислить
по формуле:
S F (b ) F ( a )
Где F(x) – первообразная функции y=f(x)
Вычисление площади криволинейной трапеции сводится
к отысканию первообразной F(x) функции f(x), то есть к
интегрированию функции f(x).
Определение
Разность F(b)–F(a) называют интегралом от
функции f(x) на отрезке [a;b] и обозначают:
Верхний предел
интегрирования
Нижний предел
интегрирования
Подынтегральная
функция
b
a
f ( x)dx
Подынтегральное
выражение

9.

Формула Ньютона - Лейбница
b
f ( x)dx F (b) F (a )
a
Таким образом:
Исаак Ньютон
1642-1727
Готфрид Лейбниц
1646-1716 гг.
b
b
a
a
S f ( x ) dx F F (b ) F ( a )

10.

Геометрический смысл интеграла
Определённый интеграл от неотрицательной
непрерывной функции f(x) по [a, b] численно равен
площади
криволинейной
трапеции
с
основанием [a, b], ограниченной сверху графиком
функции y = f(x).
Пример
Вычислить интеграл, если график
функции y=f(x) изображён на
рисунке
Проверь себя!
x2
3 32
1
S ( x 2)dx 2 x 6 2
2
2
1 2
1
9 1
6 2 4 4 8(кв.ед)
2 2
3

11.

Физический смысл интеграла
При прямолинейном движении перемещение S
численно
равно
определённому
интегралу
зависимости скорости V от времени t
Пример
Материальная точка движется по прямой со скоростью,
определяемой формулой v=3t2-4t+1, (время измеряется в
секундах, скорость – в см/с). Какой путь пройдёт точка за
3 секунды, считая от начала движения (t=0)?
b
3
3
s v(t )dt (3t 4t 1)dt (t 2t t )
2
a
3
0
33 2 32 3 27 18 3 12(см)
2
0

12.

Вычисление площадей с
помощью интегралов
1. Криволинейная трапеция, ограниченная сверху
графиком функции y=f(x), снизу осью ОХ и по бокам
отрезком [a;b]
b
S f ( x )dx
a

13.

2. Фигура, ограниченная сверху только графиком
функции y=f(x) и снизу осью ОХ
b
S f ( x ) dx
a
Точки а и b находим из уравнения f(x) =0
3. Криволинейная трапеция, ограниченная сверху осью
ОХ, снизу графиком функции y=f(x) и по бокам отрезком
[a;b]
b
S f ( x ) dx
a

14.

4. Фигура, ограниченная сверху двумя графиками
функций y=f(x) и g(x), снизу осью ОХ и по бокам
отрезком [a;b]
с
b
a
с
S f ( x ) dx g ( x ) dx
Точку С находим из уравнения f(x)=g(x)
5. Фигура, ограниченная сверху графиком функции
y=f(x), снизу графиком функции y=g(x)
b
S ( f ( x ) g ( x )) dx
a
Точки a и b находим из уравнения
f(x)=g(x)

15.

Устная работа
Выразите, с помощью интеграла площади фигур, изображённых
на рисунке
0
S
3
2
f ( x)dx
S g ( x)dx
S f ( x)dx
4
2
4
2
2
4
4
S g ( x)dx f ( x)dx
S
0
3
3
0
f ( x)dx g ( x)dx

16.

ПРАКТИКУМ
Задание №1
Найти площадь криволинейной трапеции,
изображённой на рисунках
1)
Решение
Используя формулу:
Получаем:
3
3
x
S x 2 dx
3
1
3
1
33 13 27 1
1
2
9 8 (кв.ед.)
3 3
3 3
8
3

17.

Решение
2)
1
S ( x 2)dx
2
x3
3
2x
2
1
2
( 2) 3
13
2
2( 2)
3
3
3)
1
8
2 4 9(кв.ед)
3
3
1
Решение
S ln x dx
x
e
e
1
1
ln e ln 1 1 0 1(кв.ед)

18.

Решение
4)
2
4
x
S x 3 dx
4
1
2
1
24 1
4 4
1
3
4 3 (кв.ед)
4
4
Решение
5)
2
x 3
1 x2
S
dx 3x
2
2 2
1
1
4
1 3
1 6
1 3 4
4 2
4 4
7
1
4 2 (кв.ед)
4
4

19.

y 4 x 2 , y 3x, y 0
6)
находится в I четверти
Решение
3x 2 1
x3 2
S 3 xdx (4 x )dx
4 x
2
3 1
0
0
1
3 8
1 19
1
8 4
3 (кв.ед)
2 3
3 6
6
1
2
2
Решение
7)
x2
1 x3
S ( x 2)dx x dx
2 x
2
2 3
2
2
3
1 8 3
1
6 6 3 4 (кв.ед)
2
3 3 2
2
1
1
2
1
2

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

ЗАДАНИЕ №2
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
(схематично изобразив графики функций).
1) y 6 x x 2 , y 6 2 x
2) y 2 x 2 , y x 1
3) y 1 x, y 3 2 x x 2
4) y x 2 , y x
Ответ: 1) 4,5 2) 9/8 3) 4,5 4)1/3
ЗАДАНИЕ №3
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями и осью ОХ, если
1) y 6 ( x x )
2
2) y 7 x x 10
2