Тригонометрические функции и их свойства

1.

Тема урока: Тригонометрические
функции и их свойства
9.2.4.6 объяснять с помощью единичной окружности
чётность(нечётность), периодичность и промежутки знакопостоянства
тригонометрических функций.

2.

№1.
1. Определите знаки тригонометрических
функций угла:
1) 1430, 2) -2340, 3)0,5, 4)-7,3
Решение:
1)1430 – угол в первой четверти, в ней все тригонометрические функции имеют
положительный знак.
2) -2340 – угол по часовой стрелке, он находится во второй четверти, в ней синус
положителен, остальные функции – отрицательны.
3) 0,5 – угол в радианах, в 1 радиане примерно 570, значит в нём примерно 28,50,
первая четверть, все функции положительны.
4) -7,3 – угол в радианах и отсчитываем его по часовой стрелке, умножим -7,3 на 57,
получим -416,10, это угол в четвёртой четверти, в ней синус – положителен, остальные
функции – отрицательны.
Дескрипторы:
1б определяет расположение положительных углов в определённой четверти
1б записывает знаки тригонометрических функций
1б распознаёт радианную меру в записи величины угла
1б определяет расположение отрицательных углов в определённой четверти

3.

2. Используя чётность и периодичность тригонометрических функций, найдите значение
выражений:
1
0
0
0
0
9
0
1)
Sin
(
390
)
Sin
(360
30
)
Sin
30
,
Решение:
1) Sin( 390 ), 2)Cos
,
2
4
9
2
10
0
2)
Cos
Cos
2
Cos
,
3)tg ( 420 ), 4)ctg
4
4
4
2
3
3)tg ( 4200 ) tg (1800 2 600 tg 600 3,
4)ctg
10
1
ctg 3 ctg
3
3
3
3
Дескрипторы:
1б применяет нечётность синуса и тангенса
1б использует периодичность синуса и косинуса
1б использует периодичность тангенса и котангенса
1б вычисляет значения Sin300 , Cos
, tg 600 ,ctg .
4
3

4.

№2
1)Поставьте в соответствие
тригонометрическим выражениям их знаки
Дескрипторы:
1
2
3
4
5
6
1б определяет 2) А
Sin 200
A
Cos 700 B
tg 1200
ctg 2400
Sin(-450)
tg(-1300)
>0
<0
1__, 2__, 3__, 4__, 5__, 6__.
1б определяет 1) А
1б определяет 3) В
1б определяет 4) А
1б определяет 5) В
1б определяет 6) B

5.

2. Найдите значение выражения:
1) Sin 4050
2) Cos (- 7500)
Дескрипторы:
1б использует наименьший положительный период
синуса и косинуса
3) tg 14850
1б использует наименьший положительный период
тангенса и котангенса
4) ctg (- 11100)
1б использует нечётность котангенса
Решение:
1б использует чётность косинуса
2
1б вычисляет значение 1)
,
2
1б вычисляет значение 2)
0
0
0
0
2)Cos( 750 ) Cos750 Cos(360 2 30 )
1) Sin4050 Sin(3600 450 ) Sin450
1б вычисляет значение 3)
3
,
2
3)tg14850 tg (1800 8 450 ) tg 450 1,
Cos300
1б вычисляет значение 4)
4)ctg ( 11100 ) ctg11100 ctg (1800 6 300 )
ctg 300 3

6.

№3
1. Определите знак произведения:
Решение:
a) Cos 200 Sin 1000
. a) Cos 200 Sin 1000>0, косинус в первой четверти положителен,
синус во второй – тоже.
b) Sin (-500) ctg 2000
c) tg 5000 Cos 1200
d) Sin (-700) tg (-500)
e) ctg (-600) tg 1500
f) Cos (-950) tg (-1700)
Дескрипторы:
1б определяет расположение углов в четвертях
1б определяет знаки функций в четвертях
1б использует чётность и нечётность функций
1б использует периодичность
1б a) >0
1б b) <0
1б c) >0
1б d) >0
1б e) >0
1б f) <0
b) Sin (-500) ctg 2000<0, синус в четвёртой четверти отрицателен,
котангенс в третьей положителен,
c) tg 5000 Cos 1200=tg(3600+1400) Cos 1200=
tg 1400 Cos 1200 >0, во второй четверти обе эти функции
отрицательны,
d) Sin (-700) tg (-500)>0, в четвёртой четверти обе эти функции
отрицательны,
e) ctg (-600) tg 1500>0, котангенс в четвёртой четверти
отрицателен, тангенс во второй – тоже,
f) Cos (-950) tg (-1700)= - Cos 950 tg 1700<0, косинус и тангенс во
второй четверти отрицательны.

7.

2. Сравните:
Решение:
a) Sin 600 и tg(-450)
a ) Sin600
3
, tg ( 450 ) 1
2
Ответ: >
b) Sin 300 и Sin2(-300)
2
c) Cos (-450) и Sin (-450)
d) Cos 600 и Cos (-600)
e) tg3(-600) и ctg (-300)
f) ctg2( - 450) и Cos (-300)
Дескрипторы:
1
1
1
b) Sin30 , Sin 2 ( 300 ) Sin 2 300
2
4
2
0
Ответ: >
2
2
Ответ: >
, Sin( 450 ) Sin450
2
2
1
1
d )Cos 600 , Cos ( 600 ) Cos 600
Ответ: =
2
2
c)Cos ( 450 ) Cos 450
1б использует чётность и нечётность
e)tg 3 ( 600 ) tg 3 600 ( 3)3 3 3,
1б возводит в чётную степень
ctg ( 30 ) ctg 30 3
0
Ответ: <
0
1б возводит в нечётную степень
1б применяет табличные значения
1б a)>
1б b)>
1б c)>
1б d) =
1б e) <
1б f)>
f )ctg 2 ( 450 ) ctg 2 450 12 1,
Cos( 300 ) Cos300
3 1, 7
0,85
2
2
Ответ: >

8.

№4
Решение:
1. Углом какой четверти является х, если
a) Sin x <0, Cos x >0,
b) Sin x <0, Cos x <0,
c) Sin x >0, tg x<0,
d) Cos x<0, ctg x>0.
Дескрипторы:
1б а) 4 четверть
1б b) 3 четверть
1б с) 2 четверть
1б d) 2 четверть
1б приводит объяснения
а) 4 четверть (точка в 4 четверти имеет положительную
абсциссу и отрицательную ординату,
b) 3 четверть (точка в 3 четверти имеет обе отрицательные
координаты)
с) 2 четверть (точка во 2 четверти имеет положительную
ординату- это синус, и отрицательную абсциссу – отношение
ординаты к абсциссе есть тангенс),
d) 2 четверть (точка во второй четверти имеет отрицательную
абсциссу – это косинус, и положительную ординату –
отношение абсциссы к ординате есть котангенс)

9.

2. Определите знак разности:
a) Sin 600- Cos 1800,
b) 2tg 450 – Sin 450,
c) 5Cos 900 – 3ctg 600,
d) 4ctg 300 – 6 Sin 900
2
3
e)3Sin
Cos tg
,
3
6
4
f )2ctg
3
Sin
3
Cos 2
Дескрипторы:
1б a) >0
1б b) <0
1б c) >0
1б d) <0
1б e) >0
1б f) <0
1б применяет табличные значения
1б выполняет вычисления
Решение:
3
3 2
( 1)
0,
2
2
2 2 2
b)2tg 450 Sin 450 2 1
0,
2
2
1 5 3 3
c)5Cos 900 3ctg 600 5 0 3
0,
3
3
a)Sin 600 Cos1800
d )4ctg 300 6Sin 900 4 3 6 1 0,
2
3
3 3
Cos tg
( 1) 0,
3
6
4
2 2
1
3
f )2ctg Sin Cos 2
1 0
3
3
3 2
e)Sin

10.

Свойства тригонометрических функций:
1. Периодичность:
Sin(2 n x) Sin x,
Cos(2 n x) Cos x,
tg ( n x) tgx,
ctg ( n x) ctgx.
Наименьший положительный период y=Sin x и y=Cos x равен 3600,
наименьший положительный период y=tg x и y=ctg x равен 1800.
2. Знакопостоянство или знаки по четвертям:
Правило КОСТ: О- общая, в первой четверти все функции положительны,
К- косинус, в четвёртой четверти положителен, С – синус, синус во второй
четверти положителен, Т – тангенс, в третьей четверти положителен.
3. Чётность и нечётность:
Sin( ) Sin нечётная,
Cos( ) Cos чётная,
tg ( ) tg нечётная,
ctg ( ) ctg нечётная.

11.

Домашнее задание.
1. Определите чётная или нечётная функция:
a) y=Sin2x Cos x
b) y=Cos3x tg3x
c) y=ctg4 x Sin x
2. Найдите углы равнобокой трапеции, если косинус одного из углов равен: a )
2
3
1
, b)
, c) .
2
2
2
3. Докажите, что синус любого угла треугольника положителен. Верно ли это для косинуса,
тангенса, котангенса?