Тела вращения. Конус

1.

Тела вращения
Конус
Цилиндр
Шар

2.

Определение
Высота — отрезок, соединяющий вершину и основание
фигуры и перпендикулярный ему
S
D
С
O
А
В
SO — высота фигуры

3.

S = πR2
D
R

4.

Определение
Конусом называется тело,
которое состоит из круга —
основания конуса, точки,
не лежащей в плоскости
этого круга, вершины конуса
и всех отрезков,
соединяющих вершину
конуса с точками основания

5.

Теорема
Объём конуса равен одной трети
произведения площади основания на высоту

6.

Теорема
Объём конуса равен одной трети произведения площади основания
на высоту
Дано:
конус
S — площадь его основания
h — высота конуса
V — объём конуса
Доказательство:
ОX — ось конуса через ОМ
α ⏊ ОX ⇒ сечение конуса
М1 — центр, R1— радиус
S(x) — площадь сечения
х — абсцисса М1
ΔОМ1A1 ∼ ΔОМА (∠ОМ1A1 = ∠ ОМА —
прямые, ∠МОА — общий) ⇒
O
ОМ1 = х, OM = h
x
S(x)=πR12
h
α R1
M1
A1
R
M
A
X
Теорема доказана

7.

Формула объёма усечённого конуса
V — объём усеченного конуса
h — высота
S и S1 — площади оснований
O1
R1
h
R
O

8.

Задача 1
Дано:
Δ прямоугольный
а = 4, b = 3
Найти:
4
4
3
h
4
V конуса: 1) R = a, 2) R = b
Решение:
1) R — радиус основ. конуса
h — высота конуса
R = а = 4, h = b = 3
R
3
2) R = b = 3, h = a = 4
Sосн. = πR2
Sосн. = πR2
V = πR2h
Ответ: V = 16π или V = 12π
4 h
3
R
3

9.

Задача 2
Дано:
B
конус
R = 6 см
∠ВСО = 45°
Найти: V
Решение:
R
O
h = BO, ΔBOC — прямоуг.
⇒ ΔBOC — равноб.
BO = OC = 6 см
Ответ: V = 72π
C