Многогранники. Тела вращения. Тема 8

1. Тема 8. Многогранники. Тела вращения

Часть 4. Тела вращения

2.

Содержание
Шар и
сфера
Конус
Тела
вращения
Цилиндр
Левый клик по названию раздела

3. Определение тела вращения

Содержание
Тело вращение – это пространственная фигура полученная
вращением плоской ограниченной области вместе со своей
границей вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

4. Задание

Содержание
1) Приведите примеры из окружающего мира тел, похожих
на тело полученное вращением треугольника вокруг оси,
содержащей его сторону:

5. Задание

Содержание
Из каких геометрических тел состоит тело,
полученное вращением трапеции вокруг оси,
содержащей большее основание трапеции.
Конусы
Цилиндр

6. Задание

Содержание
Нарисуйте тело, полученное вращением
изображенных на рисунках плоских фигур.
Проверка

7. Задание

Содержание
Нарисуйте плоскую фигуру, вращая которую
можно получить изображенное тело.
А)
В)
Б)
Г)
Д)

8. Задание

Цилиндр
Содержание
Зададим две параллельные плоскости α и . В плоскости α расположим
окружность некоторого радиуса.
Если из каждой точки окружности провести взаимно параллельные прямые
пресекающие плоскость , то в плоскости получится окружность такого
же радиуса.
Отрезки прямых, заключенных между параллельными
плоскостями образуют в этом случае цилиндрическую поверхность.
Цилиндр – это тело, заключенное между
двумя кругами расположенными в
параллельных плоскостях и
цилиндрической поверхностью.
α

9. Цилиндр

Содержание
Цилиндр – это тело, которое описывает
прямоугольник при вращении около оси,
содержащей его сторону.
Верхний и нижний круги – это основания
цилиндра.
Прямая проходящая через центры кругов –
это ось цилиндра.
Отрезок параллельный оси цилиндра,
концы которого лежат на окружностях
основания – это образующая цилиндра.
Радиус основания - это радиус цилиндра.
Высота цилиндра - это перпендикуляр
между основаниями цилиндра.

10. Цилиндр

Виды цилиндров
Прямой круговой
Содержание
Наклонный круговой
Прямой некруговой
парабола
Замечание: В школьном курсе геометрии по
умолчанию рассматривается прямой
круговой цилиндр

11. Виды цилиндров

Сечения цилиндра
Содержание
Осевое сечение: Плоскость сечения содержит ось цилиндра и перпендикулярна
прямоугольник
основаниям. В сечении –
. оси цилиндра
Сечение плоскостью параллельной
Плоскость сечения параллельна оси цилиндра и перпендикулярна
основаниям. В сечении – прямоугольник.
Сечение плоскостью параллельной
основанию цилиндра
Плоскость сечения параллельна
основаниям цилиндра и перпендикулярна
оси. В сечении – круг
.
Замечание: Секущая плоскость может располагаться
по-разному, рассмотрим некоторые виды сечений

12. Сечения цилиндра

Площадь поверхности цилиндра
Содержание
Для вывода формулы площади полной поверхности цилиндра
потребуется развертка цилиндра. Полная поверхность состоит из 2
оснований и боковой поверхности.
h
R
2 R
Площадь основания
находим как площадь
круга S = R2
R – радиус основания
цилиндра
Боковая поверхность
цилиндра естьпрямоугольник
…
R
Одна сторона прямоугольника – это высота цилиндра (h), другая –
длина окружности основания (2 R). Площадь боковой
поверхности цилиндра равна произведению сторон
прямоугольника.
Получаем, Sполн = Sбок + 2Sосн = 2 Rh + 2 R2
Sполн = 2 R(R + h)
.

13. Площадь поверхности цилиндра

Решение устных задач с цилиндром
Содержание
Задача 1. Во сколько раз увеличится боковая поверхность цилиндра, если
его высота увеличится в 5 раз, а радиус основания останется прежним?
R
5h
R
Ответ: площадь боковой
поверхности увеличится в 5
раз.
h
Sбок =2 Rh
Sбок =2 R5h = 10 Rh
Задача 2. Как изменится площадь боковой поверхности цилиндра, если
радиус основания увеличится в 2 раза, а высота останется прежней?
R
2R
h
Sбок =2 Rh
h
Sбок =2 2Rh = 4 Rh
Ответ: площадь боковой
поверхности увеличится в
2 раза.

14. Решение устных задач с цилиндром

Содержание
Задача 3. Осевые сечения двух цилиндров равны. Равны ли высоты этих
цилиндров?
h
2R
2R
Ответ: нет
h
Sсеч =2R·h
Sсеч =h·2R
Задача 4. Стороны прямоугольника равны 4 см и 5 см. Найдите площадь
поверхности тела, полученного при вращении этого прямоугольника вокруг
меньшей стороны.
5 см
4 см
R=5 см, h=4см
Sполн =2 R(h +R)= 2 · 5 ·(4 + 5) =90
Ответ: площадь полной
поверхности равна 90 см2

15. Решение устных задач с цилиндром

Решение задач с практическим
содержанием
Содержани
е
Задача 5. Найдите площадь листа жести, если из него изготовлена
труба длиной 8 м и диаметром 32 см?
Ответ: 2,56 м2
Решение
Задача 6. Сколько квадратных метров жести израсходовано на
изготовление 1 млн. консервных банок диаметром 10 см и высотой 5
см (на швы и отходы добавить 10% материала)?
Решение
Ответ: 11000 м2
Задача 7. Цилиндрический паровой котел имеет диаметр 1 м, длина
котла равна 3,8 м, давление пара 10 атм. Найдите силу давления пара
Ответ: ≈1,4 ·10 Н
на поверхность котла.
Решение
Задача 8. Сколько 2-х килограммовых банок краски нужно купить для
окрашивания полуцилиндрического свода подвала длиной 6 м и
высотой 2,9 м. Расход краски 100 г на 1 м2.
Решение
Ответ: 3 банки

16.

Конус
Содержание
Зададим плоскость α и точку С вне этой плоскости. В
плоскости α расположим окружность некоторого радиуса.
Проведем прямые проходящие через точку С и все точки
окружности. Поверхность, образованная отрезками с
концами на окружности и в точке С образуют коническую
поверхность.
С
Конус – это тело,
ограниченное конической
поверхностью и кругом,
включая окружность.
α

17. Решение задачи 5

Конус
Содержание
Конус – это тело, которое описывает
прямоугольный треугольник при вращении
вокруг оси, содержащей его катет.
Круг – это основание конуса.
Точка вне круга с которой соединяются все
точки окружности – это вершина конуса.
Прямая проходящая через центр круга и
вершину конуса – есть ось конуса.
Отрезок соединяющий вершину с
любой точкой окружности основания –
это образующая конуса.
Радиус основания - это радиус конуса.
Высота конуса - это перпендикуляр,
опущенный из вершины конуса к основанию.
Замечание: так как ось перпендикулярна
основанию и проходит через вершину, то
высота конуса лежит на его оси.

18. Решение задачи 6

Конические сечения
1) Если плоскость пересекает все
образующие конической поверхности,
то в сечении получается эллипс.
2) Если плоскость сечения
параллельна одной из образующих, то
в сечении получается парабола.
3) Если плоскость сечения пересекает
обе полости конической поверхности,
то в сечении получается гипербола.
Содержание

19. Решение задачи 7

Сечения конуса
Содержание
Осевое сечение. Плоскость сечения содержит ось
конуса и перпендикулярна основанию.
В сечении –равнобедренный треугольник.
Сечение плоскостью параллельной
основанию конуса.
Плоскость сечения параллельна основанию
конуса и перпендикулярна оси.
В сечении – круг.

20. Решение задачи 8

Площадь поверхности конуса
Содержание
Для вывода формулы площади полной поверхности конуса потребуется
его развертка.
Полная поверхность состоит из
основания и боковой поверхности.
l
l
2 R
R
R
Площадь основания
находим как площадь
круга S = R2
R – радиус основания
цилиндра
Боковая поверхность
сектор.
конуса есть …
Площадь боковой поверхности вычисляется как площадь сектора
радиус которого равен длине образующей конуса (l), а дуга равна
длине окружности основания (2 R).
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению
радиуса на образующую и число .
Получаем, Sполн = Sбок + Sосн = Rl + R2
Sполн = R(l + R)
Подробнее о площади сектора

21. Конус

Решение устных задач с конусом
Содержание
Задача 9. Во сколько раз увеличится боковая поверхность конуса, если
его образующая увеличится вдвое, а радиус основания одновременно
увеличится в 3 раза?
2l
l
R
3R
Sбок = 3R2l = 6 Rl
Sбок = Rl
Ответ: площадь боковой
поверхности увеличится в 6 раз.
Задача 10. Вычислите площадь боковой и полной поверхностей
конуса, длина образующей которого равна 10 см, а радиус основания 3
см.
Sосн = R2 = · 32 = 9 (см2)
Sбок = 3·10 = 30
10
3
(см2)
Sполн = 39 (см2)
Ответ: 30 см2, 39 см2

22.

Решение задач
Содержание
Задача 11. Коническая крыша башни имеет диаметр 6 м и высоту 2
м. сколько листов кровельного железа потребуется для этой крыши,
если размер листа 0,7 м x 1,4 м, а на швы и обрезки тратится 10% от
площади крыши.
1,4 м
0,7 м
2м
2
l
3
1) Вычислим площадь листа кровельного железа
0,7 · 1,4 = 0,98 м2
2) вычислим радиус, конуса R = 0,5 d= 0,5 · 6 = 3 (м),
h– высота конуса, h = 2 м.
3) Образующую конуса найдем по теореме Пифагора
l R 2 h2 32 22 13
4) Sбок = Rl = ·3 · √13 = 3√13 (м2)
Sматериала = 3√13 + 0,1 · 3√13 = 3,3√13 (м2)
Sматериала ≈ 37,36 м2
5) Вычислим количество листов кровельного железа
37, 36 : 0,98 = 38,12 ≈ 39
Ответ: количество листов равно 39 штук.

23.

Решение задач
Содержание
Задача 12. Сколько м2 ткани потребуется для пошива шатра цирка
«Шапито», если диаметр шатра составляет 32 м, а высота 22 м,
причем высота крыши равна 12 м? Добавить 5% ткани на швы и
отходы.
Шатер представляет собой конус и цилиндр.
Ткань нужна только для боковых поверхностей
этих тел.
12м
Сделаем предварительные расчеты
1) вычислим радиус, он одинаков для
цилиндра и конуса R = 0,5 d= 0,5 · 32 = 16
22 -12 = 10 м
(м),
2) H – высота конуса, h – высота цилиндра
H = 12 м, h = 10 м.
3) Образующую конуса найдем по теореме
l R 2Пифагора:
H 2 16 2 12 2 400 20 м
12
16
l
Sбок ц = 2 Rh = 2 ·16·10 = 160 (м2)
Sбок к = Rl = ·16 · 20 = 320 (м2)
Sполн = 480 + 0,05 · 480 = 504 (м2)
Ответ: 504 м2 ≈ 1582,56 м2 ткани

24. Сечения конуса

Определение шара
Содержание
Шаром называется тело, которое
состоит из всех точек пространства,
находящихся на расстоянии, не
большем данного, от заданной точки
точки.
Эта точка называется центром шара.
Расстояние от центра шара до
любой точки поверхности
называется – радиусом шара
Шар можно получить вращением полукруга
вокруг оси, содержащей его диаметр.
Сфера – это поверхность все точки
которой равноудалены от
заданной точки.

25. Площадь поверхности конуса

Сечения шара
Содержание
Сечение шара, проходящее через его центр.
В сечении –круг.
В этом случае в сечении получается круг наибольшего
радиуса, его называют большой круг шара.
Сечение плоскостью, не проходящей через
центр.
В сечении – круг.
Теорема: Площадь поверхности шара равна четыре
площади большого круга шара.
S = 4 R2

26.

Взаимное расположение сферы и
плоскости
d – расстояние от центра сферы до плоскости, R – радиус сферы
z
r – радиус сечения сферы
R
d
y
r
Вычислить радиус сечения
можно используя теорему
Пифагора.
r R d
2
x
2
d<R
Плоскость пересекает сферу и
называется секущей
Содержание

27. Решение устных задач с конусом

Взаимное расположение сферы и
плоскости
d – расстояние от центра сферы до плоскости, R – радиус сферы
z
Теорема: Радиус сферы проведенный
в точку касания сферы и плоскости,
перпендикулярен к касательной
плоскости.
R
y
R d 0
2
x
2
d=R
Плоскость имеет одну общую точку со
сферой и называется касательной
Содержание

28. Решение задач

Взаимное расположение сферы и
плоскости
d – расстояние от центра сферы до плоскости, R – радиус сферы
z
d>R
Плоскость не имеет общих точек со
сферой.
y
x
R d 0
2
2
Содержание

29. Решение задач

Содержание
1)Вычислить площадь поверхности шара изображенного на рисунке.
S =4 R2
С
6 30
А
О
R = ОА,
Найдем ОА из АСО.
CA
CA
cos A
OA
OA
cos A
6
3
OA
6:
4 3
2
cos 30
S 4 (4 3 ) 2 192
Ответ: S = 192 ед2

30.

Решение задач
Содержание
Задача 13. Наибольшая высота орбиты корабля «Восток-2», на котором
летал космонавт Г.С. Титов, равна 244 км. Найдите угол, под которым
космонавт видел Землю в момент наибольшего удаления от нее (радиус
Земли примерно равен 6371 км).
О - центр Земли, А – точка орбиты в которой
находится корабль, В и С – точки касания.
ВАС - искомый угол.
Углы В и С прямые, теорема о радиусе проведенном
в точку касания.
АВО = АСО, т.к. АО общая, АВ= АС как
отрезки касательных ВАО = САО.
В
О R
з
ОА = 6371 + 244 = 6615 км, ОВ = 6371
км
А
С
BO 6371
sin BAO
0,9631
AO 6615
ВАО = 74 23`,
значит ВАС = 148 46`≈149 .
Ответ: Космонавт видит
Землю под углом ≈149

31. Сечения шара

Справка
Решение задач
Северный полюс
С
А
полярный круг
О
66
экватор
Содержание
Задача 14. Найдите длину полярного круга
Земли (радиус Земли принять за 6400 км)
1)Из справочник имеем длину дуги от
экватора до полярного круга 66 .
Этой же мере соответствует
центральный угол АОВ = 66
2)Дуга от Северного полюса до
экватора равна 90 . Значит,
В
СОВ = 90 .
Тогда, СОА = 90 - 66 = 24 .
3)Используя синус угла СОА в
прямоугольном АСО найдем СА:
CA= AO· sin( COA)= 6400 · sin 24 = 6400 · 0,4067= 2602,88 (км)
4) СА есть радиус окружности полярного круга,
найдем длину этой окружности:
2 ·CA =2· 3,14· 2602,88 = 16 346, 0864 км
Ответ: длина полярного круга ≈ 16 тыс. км

32.

Тема 8.
Многогранники.
Тела вращения
5. Объем тел. Понятие объема
https://youtu.be/PtGiuOrpAX4

33.

Кубический сантиметр
1 см
1 см3
1 см
1 см2
1 см
1 см

34.

Объём — это положительная величина
V = 2 см3

35. Решение задач

Свойства объёмов:
Свойство 1
Равные тела имеют равные объёмы
a
b
c
h
h
b
a
c

36.

Свойства объёмов:
Свойство 2
Если тело составлено из нескольких тел, то его объём
равен сумме объёмов этих тел
F
V = VF + VQ
Q

37.

Свойства объёмов:
Свойство 3
Если одно тело содержит другое, то объём первого тела
не меньше объёма второго
V = a3 ⇒ V = 1 см3
1 см

38. 5. Объем тел. Понятие объема

Следствие 1
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению
площади основания на высоту
c
S = ab
a
b
V = Sосн. · h
Следствие 2
Объём прямой призмы, основанием которой является
прямоугольный треугольник, равен произведению площади
основания на высоту
B
1
A1
B
A
C1
C
Sосн. = 2SABC

39.

Теорема
Объём прямоугольного
параллелепипеда равен
произведению трёх его измерений
V = abc

40.

Задача 15
Дано:
Найдите объём многогранника,
изображенного на рисунке (все двугранные
углы многогранника прямые).
aс, bс, hс и aз, bз, hз — ширина,
длина и высота
параллелепипедов
bз
aз
hз
Найти: V
Решение:
aс = 3, bс = 3, hс = 4
Vc = aсbсhс = 3 · 3 · 4 = 36
aз = 3 – 2 = 1, bз = 3, hз = 5 – 4 = 1
Vз = aзbзhз = 1· 3 · 1 = 3
V = Vc + Vз = 36 + 3 = 39
Ответ: V = 39
2
5
hс
aс
bс

41.

Задача 16
Дано:
250х120х65 — размер кирпича
2200х120х700 — размер проёма
Найти: N кирпичей
Решение:
a1 = 250, b1 = 120, h1 = 65
a2 = 2000, b2 = 120, h2 = 700
V1 = a1b1h1
V2 = a2b2h2
Ответ: 95 кирпичей
120
65
250

42.

Теорема
Объём прямой призмы равен
произведению площади
основания на высоту
V = Sосн. · h

43.

Задача 17
Дано:
Правильная n-угольная призма
а — ребро
призмы
а) n = 3
б) n = 4
в) n = 6
г) n = 8
Найти: V
Решение:
a) n = 3
V = Sосн. · h
б) n = 4
в) n = 6
V = Sосн. · h
г) n = 8
V = Sосн. · h

44.

Теорема
Объём цилиндра равен произведению
площади основания на высоту
V=
2
πr h

45.

Задача 18
Дано:
цилиндр
V — объём, r — радиус
h — высота
h = 3 см
б) r = h, V = 8π см3
Найти: а) V, б) h
h
r
Решение:
a) V = πr2h
Ответ: V = 24π см3
б) V = πr2h
r = h, V = πh2h = πh3
Ответ: h = 2 см

46.

Теорема
Объём конуса равен одной трети
произведения площади основания на
высоту

47.

Формула объёма усечённого конуса
V — объём усеченного конуса
h — высота
S и S1 — площади оснований
O1
R1
h
R
O

48.

Задача 19
Дано:
Δ прямоугольный
а = 4, b = 3
Найти:
4
4
3
h
4
V конуса: 1) R = a, 2) R = b
Решение:
R
3
1) R — радиус основ. конуса 2) R = b = 3, h = a = 4
h — высота конуса
R = а = 4, h = b = 3
Sосн. = πR2
Sосн. = πR2
V = πR2h
Ответ: V = 16π или V = 12π
4 h
3
R
3

49.

Теорема

50.

Задача 20
Дано:
шар
R — радиус шара
S = 64 см2
Найти: Rшара, Vшара
Решение:
1) Найдём радиус:
S = 4πR2
2) Вычислим объём:
R
O