Поверхность вращения. Объём тела вращения

1.

2.

Поверхность вращения поверхность, полученная
при вращении кривой
вокруг какой либо оси

3.

Тело вращения Тело, полученное при
вращении элементарной
криволинейной трапеции
вокруг оси , содержащей
основание трапеции

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

y
y f x
0
a
Объём
тела
вращения
xk xk x
Vk
V
b
элемент объёма
x

11.

Vцил R H
Vk f
2
y
2
xk x
V lim Vn
n
0
x k x k x
a
g xk
n
x
b
b
V g x dx
a
b
Vn f xk x V f
2
k 1
a
2
x dx

12.

13.

b
V f 2 x dx
H
V R dx
2
a
y
R
0
y=R
V R x |0
2
0
Объём цилиндра
H
H
x
V R H
2

14.

15.

b
V f
2
H
x dx
R
2
V 2 x dx
H
0
a
y
R
y= ∙x
H
0
Объём конуса
2
R
R
H
x
2
3
H
x
V 2
H
3
|
R
3
2
H
V 2
H
3
0
1 2
V R H
3

16.

17.

b
V f 2 x dx
Объём усечённого конуса
y
a
R r
V
x r dx
h
0
2
h
R-r
r
R
h
h x
0
dx
h
dt ;
R r
t 0 r
t h R
3 R
3
3
t
h
R
r
2
V
t
dt
R r r
R r 3 r
3 R r
h
h
R
R r
R r
x r t x ;
dx dt ;
h
h
|
1
2
2
V R Rr r h
3

18.

19.

b
Объём шара
V f 2 x dx
y
y=
a
R2 −x²
R
V 2 R 2 x 2 dx
0
-R
0
R
x
3
2
x R
V 2 R x
3 0
3
3
3
2
R
2
R
4R
2
V 2 R R
3
3
3
4
3
V R
3
|