Цифровая обработка многомерных сигналов

1. ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА МНОГОМЕРНЫХ СИГНАЛОВ.

2.

Лекция №1
Дискретизация непрерывных двухмерных сигналов
Периодическая дискретизация по прямоугольному растру
x(n1 , n2 )
xa (t1 , t 2 )
x(n1 , n2 ) xa (n1 T1 , n2 T2 )
T1 и T2 – положительные вещественные константы, называемые горизонтальный
и вертикальный интервалы дискретизации.
можно ли по значениям
x(n1 , n2 ) восстановить сигнал xa (t1 , t 2 ) без погрешности и как связаны
Фурье-преобразования этих сигналов?
Фурье-преобразование для непрерывных сигналов запишется следующим образом:
X a ( 1 , 2 ) =
,
x (t , t ) exp( j t j t ) dt dt
a
1
2
1
1
2
2
1
2
2

3.

xa ( t1 ,t 2 )
1
4 2
X a ( 1 , 2 ) exp( j 1 t1 j 2 t 2 ) d 1 d 2
Поскольку x(n1 , n2 ) xa (n1 T1 , n2 T2 ), то запишем:
1
x( n1 , n2 ) 2 X a ( 1 , 2 ) exp( j 1 n1 T1 j 2 n2 T2 ) d 1 d 2
4
Проведем сначала подстановку:
1 1 T1
2 2 T2
1
1
x( n1 , n2 ) 2
X a ( 1 , 2 ) exp( j 1 n1 j 2 n2 ) d 1 d 2
4 T1 T2
T1 T2
Пусть SQ(k1 , k2 ) представляет собой квадратную область
2 k1 1 2 k1
2 k 2 2 2 k 2
3

4.

,
x(n1 , n2 )
1 2
1
1
X
(
, ) exp( j 1 n1 j 2 n2 ) d 1 d 2
a
4 2 k1 k2 SQ.(
T
T
T
2
1 T2
k ,k ) 1
.
1 2
Заменим 1 на
x( n1 , n2 )
1
1 2 k1 и 2 на
2 2 k2
1
2 k1 2 2 k 2
X a( 1
,
)
T1 T2 k1 k2
T1
T2
2
4
exp( j 1 n1 j 2 n2 ) exp( j 2 k1 n1 j 2 k 2 n2 ) d 1 d 2
следовательно
X ( 1 , 2 )
или иначе
1 2 k1 2 2 k 2
1
X
(
,
)
a
T1 T2 k k
T1
T2
X ( 1 T1 , 2 T2 )
1
2
1
2 k1
2 k 2
X
(
,
)
a 1 T
2
T1 T2 k k
T
1
2
1
2
4

5.

,
2
X a ( 1 , 2 )
2
X ( 1 T1 , 2 T2 )
2
T2
W2
W
W1
W
1
2
T1
1
На рисунке спектры непрерывного и дискретного сигнала
5

6.

Приведенные выше выражения и рисунок образуют основу двухмерной теоремы отсчетов
W W
1 1 2
xa ( t1 ,t 2 ) 2 T1 T2 x( n1 ,n2 ) exp( j 1 T1 n1 j 2 T2 n2 )
4 W1 W2
n1 n2
T T
exp( j 1 t1 j 2 t 2 ) d 1 d 2 1 22 x( n1 ,n2 )
4 n1 n2
W1 W2
exp j 1 ( t1 n1 T1 ) j 2 ( t 2 n2 T2 ) d 1 d 2
W1 W2
x( n1 ,n2 )
n1 n2
,
sin W1 ( t1 n1 T1 ) sin W2 ( t 2 n2 T2 )
,
W1 ( t1 n1 T1 )
W2 ( t 2 n2 T2 )
6

7.

xa ( t1 ,t2 ) x( n1 , n2 )
n1 n2
sin W1( t1 n1 T1 ) sin W2 ( t 2 n2 T2 )
W1( t1 n1 T1 )
W2 ( t 2 n2 T2 )
Теорема отсчетов. Непрерывный сигнал с ограниченным спектром может быть восстановлен
по значениям его отсчетов. При этом должно выполняться условие для
W2
W1
таким образом, что
2
2 W1 max
T1
2
2 W2 max
T2
т.е. период дискретизации должен обеспечивать частоту считывания непрерывного сигнала
более чем в два раза выше, чем максимальная частота спектра непрерывного сигнала.
,
7

8.

Периодическая дискретизация при
произвольном растре дискретизации
Понятие прямоугольной дискретизации легко обобщить. Определив два линейно независимых вектора
11
V1
21
12
V2
22
расположение двухмерного периодического множества отсчетов на плоскости
(t1 , t 2 )
следующим образом:
t1 11 n1 12 n2
t 2 21 n1 22 n2
,
8

9.

С использованием векторных обозначений эти соотношения примут вид:
t V n
где
t1
t
t2
n
n 1
n2
V V1 | V2 11 12
21 22
D 11 22 12 21 0
Поскольку условились, что V1 V2 линейно независимы
V – матрица дискретизации.
U – матрица периодичности, удовлетворяющая
условию:
U V 2 I
,
9

10.

В случае прямоугольной дискретизации:
T 0
V 1
0
T
2
det V T1 T2
2
T
U 1
0
0
2 W1
2 0
T2
0
2 W2
В случае гексагональнальной дискретизации растр будет иметь
вид:
t
2
t1
,
10

11.

Гексагональная дискретизация дает матрицу:
T1
V
T2
T1
T2
Строчки растра повторяются через одну, при этом нечетные строки сдвинуты относительно
четных на пол периода
Матрица периодичности для гексагональной дискретизации имеет вид:
U
U 1
U 2
,
U1
U 2
где
U1 =
T1
U2 =
T2
11

12.

Периодическое повторение квадратного участка соответствует дискретизации на прямоугольном
растре с матрицей дискретизации:
Vпр W
0
0
W
det Vпр
2
W2
С другой стороны матрица гексагональной дискретизации:
W 3
Vгекс
W
,
W 3
W
det Vгекс
2
W
2
2
3
12

13.

Поскольку плотность отсчетов пропорциональна
1
det V
1
1
det Vпр det Vгекс
видно, что для представления одного и того же сигнала, спектр которого ограничен, гексагональная
дискретизация требует меньшего числа отсчетов по сравнению с прямоугольной.
,
13

14.

,
14