Модельные уравнения Уравнение Бхатнагара, Гросса, Крука

1.

МОДЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнение Бхатнагара, Гросса, Крука
f
f
f0 f (23)
t
x
— постоянный множитель, частота столкновений;
f0 – равновесная максвелловская функция распределения,
c параметрами n0, ux0, uy0, uz0, T0, которые определяются из:
f0 d f d ; f0 i d f i d
f 0 u
2
d f u
2
d , где
(i x, y , z );
f 0 i d
ui
f0 d

2.

L
P
Х
х
Г
Tг
Рг
Рх
Tх Tг
Tx
df
x
J
dx
Т

3.

Принятие аппроксимации функции распределения
n1 x
2
exp
f1
x 0
32
2 RT1 x
2
RT
x
1
(24)
n2 x
2
exp
x 0
f2
32
2 RT2 x
2
RT
x
2
Cила взаимодействия молекул
F K1 r 5
Четырехмоментная аппроксимация
1
1 m; 2 m x ; 3 m 2 ; 4 m x 2
2
df
m x
mJ ,
Умножение
dx

4.

Интегрирование
df
m x
d
dx
d
m
x f d
dx
mJd ,
d x
m
dx
1
x2
и т.п.
f d
x2 f d

5.

d x
0
m
dx
d
m
m
0
dx
d x
2
dx
d
m
2
x
2 2
x
dx
2
0
m I x
2

6.

x
2
x
x
d
m
jx
m
П xх
m
2
а
(25 )
б
(25 )
Ех
2
m
2 2
x
dx
в
(25 )
m I x
2
г
(25 )

7.

x x
x
Интеграл Пуассона
e
0
2
x
1
dx
2

8.

jx
RT1
RT2
n1
n2
2
2
m
П xх
1
1
n1RT1 n2 RT2
2
2
m
(26а )
б
(26 )
RT1
RT2 Е х
2n1RT1
2n2 RT2
(26в )
2
2
m
d 5
2 5
2
2
n
RT
n
RT
I
(*)
2
2
x
1 1
dx 2
2

9.

I x
2
1
2
x 1 1 2 x 2 x1 12 x
1
2 K1 s 1
b
m
g
g bdb
m
При s=5
g
ff1 g bdbd d 1d
1
2 K1 s 1
2
s 1
2
2 K1 s 1
2
db
m
1
4
s 1 d
1
2 K1 2
g bdb
d
m
g
2
s 1 d

10.

g
2
g
rmin
0
b

11.

2
0 0
K1
g b sin cos dbd A2
, где A2 =1,3682
2m
2
I x 2 2 A2
I x
2
A
4 2
m
2
K1
1 x 2 2 x 2 x x2
2m
n1 x +n 2 x
xx
K1 5
jx
E
, где ρ=m
2m m 2
m
2
d 5
4 A2
2 5
2
n1 RT1 n2 RT2
dx 2
2
m
K1
5 xx
г
E
j
,
(26
)
x
x
2m m 2
m

12.

n1T11 2 n2T21 2 j x
(27 а )
n1T1 n2T2 П xх
(27б )
n1T13 2 n2T23 2 Е х
(27в )
d
16
K1
2
2
n1T1 n2T2
A2
dx
2m
5 2
lб
nб
RTб
RTб
2 2 nб A2 K1 2m
5
E x n j x xx (**)
8

13.

d
4 1
5
2
2
n1T1 n2T2
E
n
j
x xx
x
dx
8
5 lб
d n1T12 n2T22
dx
0,45 E n 5 j
Knб
x
8
x
г
xx , (27 )
где x x / L, Knб lб / L, 0,45 4 (5 )

14.

n1 1 N1 n2 1 N2 T1 1 t1 T2 1 t2
N1 t1 2 N 2 t2 2 j x
(28а )
2 N1 t1 N 2 t2 П xх
(28б )
3
3
N1 t1 N 2 t2 Е х
2
2
(28в )
d N1 2t1 N 2 2t2
dx
0,45 E
5
jx
x
Knб
4
t2 t1 Ex jx (29)
N2
xx
N1
N 2 N1 3 jx
2
t1 5 jx 3 Ex 1 (30a )
2
4
4
xx
2
t1
Ex
4
jx
4
1 (31)
(28г )
Ex
2
(30)

15.

jсплошн jс м
-?
8
t
N t N
9
2
dP
r
dT T v v
7
N t
2
(41)
P
r
T T
r
9
Pб 2
(42)

16.

jсплошн jс м
jсплошн jс м
r
9
Pб 2
r
9
Pб 2
До столкновения
j
После столкновения
До столкновения
j
После столкновения

17.

Гелий
Азот
T= 3.6K
T= 78.0K
Pб 0.59 105 Па
r 2.32 104 Дж
134 кг
8.8 кг
м
Pб 105 Па
кг
3
м
3
r
3.7
Pб
r 2.0 105 Дж
804 кг
5.0 кг
кг
м3
м3
r
10
Pб