Перпендикулярность прямой и плоскости

1.

Решение задач по теме
«Перпендикулярность прямой и
плоскости».
Задачи на готовых чертежах
11.12.2023

2.

1
Дано: а (АВС),
АСВ=90°, АС=4, МD=3
Найти: МС.
М
3
4
С
А
а
D
В
В равнобедренном прямоуголь нике АВС
AB 4 2 , тогда CD 2 2.
По т.Пифагора из прямоуголь ного МСD МС 1
Ответ: 1

3.

2
М
4
С
В
Дано: а (АВС)
АВС - равносторонний,
АС= 2 3, МD=4
Найти: МС.
D
2 3
А
а
AC 3
АВС равносторонний , значит, СD
, СD 3.
2
Из прямоуголь ного МСD СМ 5
Ответ: 5

4.

3
М
3
О
А
4 3
С
а
Ответ: 5
В
Дано: а (АВС),
АВС - равносторонний,
АС=4 3 , О - центр окружности,
описанной около АВС, МО=3
Найти: МВ.
АВС равносторонний, ОВ радиус
окружности описанной около
треугольника , значит,
АС
2ОВ , ОВ 4.
sin В
Из прямоуголь ного МОВ МВ 5.

5.

4
М
2
С
120°
А
6
Дано: а (АВС),
О – центр окружности,
описанной около АВС,
МО=2, АВ=6, АСВ=120°
В Найти: МC.
О
В АВС ОС радиус окружности, описанной около
АВ
треугольника , значит,
ОС , ОС 2 3.
2 sin С
Из прямоуголь ного МОС МС 4.
Ответ: 4

6.

5
М
60°
А
В
30°
6
С
Дано: а (АВС),
АСВ=90°,
АС=6, МAB=60°
CAB=30°
Найти: МС.
а
AC 3
6
В прямоуголь ном АВС cos A
;
; AB 4 3 , значит,
AB 2
AB
MB
ВС 2 3; из прямоуголь ного АВМ tgA
; MB 12;
AB
тогда из прямоуголь ного МВС МС 2 39 .
Ответ:2 39

7.

6
М
8
45° В
60°
А
С
Дано: а (АВС),
АСВD-прямоугольник,
MD=8, МAB=45°
ADM=60°
Найти: AB и AD.
D
а
В прямоуголь ном АMD AD 4, АМ 4 3 ,
из прямоуголь ного АМВ АВ 2 6
Ответ: 2 6

8.

E
7
Дано: ABCD-трапеция,
О- центр окружности,
описанной вокруг трапеции,
ОЕ (АВС), АЕ=10, ОЕ=8,
D ВАD=30°
Найти: BD.
10
8
А
30°
В
О
С
BD
Из АОЕ АО 6, тогда в ABD
2 АО,
sin A
значит, ВD 6
Ответ: 6

9.

D
8
1
А
6
О
М
С
Дано: АВС, О- центр
вписанной окружности,
OD (ABC), АС=ВС=5,
АВ=6, DO=1, АМ=МВ
Найти: DM.
5
В По формуле Герона S ABC 8(8 5)(8 5)(8 6) 12,
12 3
S
ABC
тогда МО
, МО
.
p
8 2
13
Из прямоуголь ного MOD DM
2
Ответ: 13
2

10.

D
9
2 3
О5
А
3
Дано: АВС, АСВ=90°,
О - центр описанной окружности,
АМ=МС, OD (АВС), АВ=5,
АС=3, DO= 2 3
Найти: МD.
В
М
С
Из прямоуголь ного АВС ВС 4,
О центр описанной окружности, М середина АС ,
значит, МО 2, тогда в прямоуголь ном МОD МD 4
Ответ: 4

11.

10
D
3
А
3
М
Ответ: 2
О
С
Дано: АВС, ABС=90°,
О- центр вписанной
окружности, OD (ABC),
АВ=3, ВС=4, DO= 3 , ОМ=r
Найти: DM.
4
В
В прямоуголь ном АВС АС 5,
АВ ВС АС 3 4 5
МО
1,
2
2
тогда из МОD МD 2

12.

11
Дано: АВС, ACB=90°,
О- центр вписанной
окружности, OD (ABC),
АС=6, ВС=8, DO=2 3 , ОМ=r
Найти: S ADC
В
D
2 3
А
6
М
О
8
С
АВС прямоуголь ный, значит, АВ 10,
6 8 10
тогда МО
2,
2
из прямоуголь ного MOD MD 4, следовательно, S ADC 12
Ответ: 12

13.

Дано: АВСD-трапеция, описанная
вокруг окружности с центром О,
АВ=СD, ОЕ (АВС), РАВСD=16,
СDА=30°, ОЕ=4, М и К-точки касания
окружности со сторонами ВС и АD
Найти: ЕК
12 Е
4
С
М
В
30°
О
А
К
Р
т.к. окружность вписана
D в равнобедренную
трапецию, то АВ СD 8,
значит, СD 4
СР АD, тогда в СРD CР 2, значит, МК 2,
ОК 1, следовательно, из ОЕК ЕК 17
Ответ: 17

14.

Литература
Гайштут А.Г., Литвиненко Г.Н. Стереометрия: Задачник
к школьному курсу.-М.:АСТ-ПРЕСС:Магистр-S
Рабинович Е.М. Задачи и упражнения на готовых
чертежах. 10-11 классы. Геометрия.- М.:Илекса