Классический метод расчета переходных процессов. Переходные процессы в цепях с r и L, r и C при постоянных напряжениях. Лекция 8

1.

1
Лекция 8
Классический метод расчета
переходных процессов.
Переходные процессы
в цепях с r и L, r и C
при постоянных напряжениях и токах
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

2.

КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА
переходных процессов в линейных
электрических цепях
Основой данного метода является решение
дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами во временной области.
2
Токи, напряжения представляются в этом случае
как суммы принужденных и свободных
составляющих:
х хпр хсв .
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

3.

3
Принужденная составляющая xпр представляет
собой установившееся значение, которое ток
(напряжение) принимает по окончании
переходного процесса.
Свободная составляющая хсв определяется
особенностями рассеяния энергии
электромагнитного поля в рассматриваемой
электрической цепи.
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

4.

4
Принужденные составляющие по форме
совпадают с ЭДС (напряжением) источника на
входе рассматриваемой цепи.
Свободные составляющие со временем
стремятся к нулевым значениям, поскольку в
реальных цепях имеет место необратимый
процесс рассеяния (потерь) энергии в
сопротивлениях элементов этих цепей.
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

5.

5
Структура свободных составляющих зависит от
порядка дифференциальных уравнений,
описывающих переходные процессы.
Порядок дифференциальных уравнений
определяется количеством реактивных
элементов (индуктивностей и емкостей) в ней.
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

6.

6
Порядок дифференциального уравнения
определяет степень характеристического
уравнения и, соответственно, количество и тип
корней этого уравнения.
Последнее обстоятельство определяет форму
записи свободных составляющих.
Общий алгоритм применения классического
метода не зависит от характера и сложности
электрической цепи.
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

7.

Включение цепи r,L на постоянное напряжение
7
В момент времени t = 0 цепь, состоящая из
сопротивления r и индуктивности L, включается
на постоянное напряжение U = E.
U
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

8.

8
После коммутации (замыкания ключа) для
рассматриваемой схемы можно записать
уравнение по второму закону Кирхгофа:
ur u L E
или
di
r i L E.
dt
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
(10)
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

9.

9
Уравнению (10) соответствует
характеристическое уравнение
r pL 0,
корень которого
r
p .
L
Переходный ток в цепи состоит из суммы
принужденной и свободной составляющих:
i iпр iсв .
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
(13)
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

10.

10
Свободная составляющая
iсв Ае .
pt
Принужденная составляющая (ток нового
установившегося режима)
E
iпр .
r
После подстановки приходим к выражению
E
pt
i Ае ,
r
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

11.

в котором неизвестная постоянная А
определяется из уравнения (13) при t = 0+:
11
E
i 0 iпр 0 iсв 0 A.
r
Величина i(0+) находится на основании первого
закона (правила) коммутации
i(0+) = i(0–) = 0,
так как до коммутации ток в цепи отсутствовал.
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

12.

12
Следовательно,
E
0 A,
r
откуда
E
A .
r
Ток в цепи
r
r
t
E E Lt E
i e
1 e L .
r
r
r
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

13.

13
Напряжение на индуктивности
r
d E E Lt
di
uL L L e
dt r r
dt
r
E r Lt
L
e
r L
r
t
Ee L .
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

14.

E
iпр =
r
i, u L
E
i(0-)
0
E
r
14
uL
i(0+)
i = iпр iсв
E
iсв = e
r
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
r
t
L
t
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

15.

15
Включение цепи r,С на постоянное напряжение
В момент времени t = 0 цепь, состоящая из
сопротивления r и емкости C, включается на
постоянное напряжение U = E.
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

16.

После коммутации для рассматриваемой схемы
можно записать уравнение по второму закону
Кирхгофа:
16
r i uC E ,
du
где i C C , или
dt
duC
rC
uC E.
dt
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

17.

Характеристическое уравнение имеет вид:
17
rCp 1 0
и, соответственно, корень уравнения
1
p .
rC
Переходное напряжение в цепи состоит из
суммы принужденной и свободной
составляющих:
uC uC пр uC св .
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
(27)
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

18.

18
Свободная составляющая
uC cв B е .
pt
Принужденная составляющая (напряжение на
емкости в установившемся режиме после
коммутации)
uC пр E.
Решение для uC:
uC
1
t
E Bе rC .
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

19.

Постоянная В определяется из уравнения (27)
при t = 0+:
19
uC 0 uC пр 0 uC св 0 E B
Величина uC(0+) находится на основании второго
закона (правила) коммутации:
uC(0+) = uC(0–) = 0.
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

20.

20
Следовательно, 0 E B,
откуда B E
и напряжение на емкости
uC
Ток в цепи
1
1
t
t
E E e rC E 1 e rC .
duC
1
i C
C E
dt
rC
1
t
e rC
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
1
E rC t
e
.
r
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

21.

21
i, uC
uCпр = E
E
uC = uCпр uCсв
uC (0-)
i
0
uC (0+)
uCсв = Ee
1
t
rC
t
-E
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

22.

Короткое замыкание ветви r,L
22
В момент t = 0 в цепи происходит коммутация,
в результате которой образуется контур для тока
iL, не содержащий источника.
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

23.

В установившемся режиме до коммутации
23
E
i i 0
,
r0 r
так как индуктивность не оказывает
сопротивления постоянному току.
После коммутации для правого контура:
или
ur u L 0
di
ri L 0.
dt
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

24.

Характеристическое уравнение имеет вид:
24
r pL 0
и, соответственно, корень уравнения
r
p .
L
Переходный ток i состоит из суммы
принужденного и свободного токов:
i iпр iсв .
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
(41)
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

25.

25
Свободная составляющая
iсв Ае .
pt
Принужденная составляющая (ток нового
установившегося режима)
iпр 0.
Поэтому в данном случае
i iсв
r
t
Ае L .
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

26.

Постоянная А определяется из соотношения (41)
при t = 0+:
26
i 0 0 A.
Величина i(0+) находится по первому закону
(правилу) коммутации:
E
i 0 i 0
.
r0 r
Следовательно,
E
A
.
r0 r
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

27.

27
Ток в индуктивности
E
i
r0 r
r
t
e L.
Напряжение на индуктивности
r
r Lt
E
e
E
di
u L L L
dt
r0 r L
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
r
r0 r
r
t
e L.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

28.

28
iL , uL
E
r0 r
0
r
E
r0 r
iL
t
uL
Рис. 9
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

29.

29
Ток iL и напряжение uL на рис. 9 наглядно
иллюстрируют процесс рассеяния энергии
магнитного поля, накопленной к моменту t = 0 в
индуктивности.
По мере того как энергия магнитного поля
постепенно рассеивается в сопротивлении r, ток
в контуре приближается к нулю.
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №8.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.