Мир тригонометрии: основные тригонометрические формулы. Урок алгебры и начала анализа в 10 классе

1.

Урок алгебры и начала
анализа в 10 классе
« Мир тригонометрии:
основные
тригонометрические
формулы»

2.

Зачем нужна тригонометрия?
Астрономия
Древняя астрономия
Формула сердца
Геодезия, картография
Музыка – это
математика по
вычислениям(си
нусоидальное
колебание).

3.

Зачем нужна тригонометрия?

4.

Тригонометрия
- это раздел математики, изучающий
тригонометрические функции. Сложно
представить, но с этой наукой мы
сталкиваемся не только на уроках
математики,
но
и
в
нашей
повседневной жизни. Вы могли не
подозревать об этом, но тригонометрия
встречается в таких науках, как
физика, биология, медицина, и, что
самое интересное, без нее не обошлось
даже в музыке и архитектуре.

5.

Тригонометрическое нивелирование
применяется при
топогеодезических работах на
земной поверхности
В геодезии основными измерительными
инструментами (приборами) определяющими
вертикальный угол являются теодолит и тахеометр.

6.

Тригонометрические вычисления применяются практически
во всех областях физики и инженерного дела. Она позволяет
измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии,
между ориентирами в географии, контролировать системы
навигации спутников.
Тригонометрия помогает
измерить ширину реки

7.

Тригонометрия в биологии
Тригонометрия в музыке
БИОЛОГИЧЕСКИЕ РИТМЫ (биоритмы), периодически повторяющиеся
изменения характера и интенсивности биологических процессов,
свойственных
живым организмам. Модель биоритмов можно
Разработан
построить с помощью тригонометрических функций.
принципиально новый,
«геометрический»
подход
к
изучению
музыкальных
произведений. Историю
развития музыки на
протяжении
многих
веков теперь можно
представить как процесс
изучения
различных
типов
симметрий
и
геометрических форм.
Тетраэдр семейства аккордов из четырех звуков, вид
сверху.
Новый метод анализа музыкальных произведений получил
название «геометрическая теория музыки». С его помощью
основные
музыкальные структуры
и преобразования
Движение
рыб в воде
При плавании
тело рыбы принимает
переводятся
на язык
современной
геометрии.
происходит
по закону
синуса
форму
кривой, которая напоминает
или косинуса
график функции y=tgx.

8.

9.

Тригонометрия в медицине
Кардиограмма сердца
это график синуса или
косинуса
С помощью тригонометрии
иранские ученые вывели
формулу сердца

10.

Архитектура
Тригонометрия является основой для создания
многих шедевров искусства и архитектуры. На слайде
можно видеть тригонометрию в постройке зданий.

11.

Устно
1. Перевести:
а) в радианы
30°, 45°, 90°, 270°, -720°.
б) в градусы
π, π/3, π/2, -3π, π/18
2. Может ли синус быть равным
0,75; 5/3; -0,35; 0; √3; -2 ?

12.

Разминка
Значения синуса угла
1. В каких четвертях лежит угол α,
если sinα<0?
2. Чему равен sin7 π
3. Какой
4. В
знак имеет cos150º?
каких пределах находится sinα?
Значения косинуса угла
5. cosα>0, в какой
четверти расположен угол α?
6. Чему равен cos 45 º?
7. Сколько градусов составляет дуга
8. Сколько радиан составляет 360º?
9. Что
в π рад?
называется углом в 1 радиан?
Угол в 1 радиан – это такой центральный угол,
опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу
окружности. 1радиан ≈ 57º.

13.

Восстанови тригонометрические формулы
sin 2 cos 2
1
tg (-α) =
tg ctg
1
ctg
ctg
tg
1 tg 2
sin
sin 2
cos 2
2
2sinα∙cosα
cos2 α- sin2 α
cos
1- sin2 α
sin(-α) =
- sin α
2
1+ ctg2 α =
sin( )
- tg α
1- cos2 α
1/sin2 α
cos α
2
cos (-α) =
tg ( )
cos α
tg α

14.

Психологический тест + физпауза
1.
3.
2.

15.

1. Вытянуть правую руку перед собой,
параллельно поверхности стола и выполнить
круговой поворот на 720 градусов.
2. Вытянуть левую руку перед собой,
параллельно поверхности стола и выполнить
круговой поворот на (-1080) градусов.
3. Положите кисти рук на плечи и сделайте по 4
круговых движения вперед и назад. Какова сумма
углов поворота?

16.

Работа у доски
,
Вычислить sin2α, если
12
cosα=13
3
2
‹α‹2π
Ответ: - 60/169

17.

Работа у доски
(Решение заданий ЕГЭ)
Ответ: АВ=10

18.

Работа у доски
(Решение заданий ЕГЭ)
Ответ: -3

19.

12 32
522
Работа в группах
С
А
М
О
С
45°
-1/2 √3/2 √2/2 45°
С
К
И
Й
45° -√3/2 2π/5 1/2

20.

12 32
522
П
Работа в группах
Т О Л Е М Е
1/2
-√2/2 √2/2
π/3
0
18
0
Й
-√3/2
Клавдий Птолемей
(Claudius Ptolemaeus)
родился между 127145 гг. нашей эры в
Александрии
(Египет), древний
астроном, географ и
математик,
считавший Землю
центром вселенной
("Птолемеева

21.

12 32
522
Работа в группах
П
135°
И
1/2
Т
√3/2
И
1/2
С
1
К
У
-√2/2 -1
С
1
Бартоломеус Питискус
Немецкий математик,
астроном, теологкальвинист.
Внёс вклад в развитие
тригонометрии, в том
числе предложил сам
термин «тригонометрия»
в качестве названия этой
науки.

22.

Подведение итогов урока:
Сегодня на уроке
я повторил …
Сегодня на уроке
я научился …
Мне необходимо
еще поработать над …
Сегодня на уроке мне
понравилось…

23.

Домашнее задание
1. Повторить:
формулы тригонометрии;
табличные значения
тригонометрических
функций;
2. Решить:
Стр. 404, №1269;
Стр.407, №№ 1310, 1311

24.

Основные формулы плоской
тригонометрии
Теорема синусов:
Теорема
косинусов:

25.

Сферы
применения
Астрономия
Строительство
Геодезия
Архитектура
Картография
Дизайн
Механика
Навигация
Оптика
Медицина
Акустика
Музыка
Спорт
ТРИГОНОМЕТРИИ

26.

Это интересно!

27.

1 вариант
1) Упростить выражение
9 cos2а+ 9sin2а - 10
а) -1 б) 0 в)
sin2а
г) 10
2 вариант
Упростить выражение:
7 cos2а +7sin2а - 5
а) 1+cos2а;
б) 2;
в) –12;
2) Упростить выражение
8 – 3 sin2а - 3cos2а
а)1+ sin2а б) cos2а-1 в) 1
г) 5
2) Упростить выражение:
3) Упростить выражение:
(1 –sin2а): sin2а– сtg2а
а) sin2а ; б) 0; в) 2сtg2а г)
sin2а
3) Упростить выражение:
4) Упростить выражение
sin4х + sin2х·cos2х
а) sin4х б) 2sin2х в) sin 2x г)
г) 12
5 – 4 sin2а - 4cos2а
а) 1; б) 9;
1+cos2а.
в) 1+8sin2а;
г)
(1 – cos2а): cos2а – tg2а
а) ctg2а; б) 0; в) ctg2а - tg2а; г)
2tg2а
4) Упростить выражение
cos4х + sin2х·cos2х

28.

Тригонометрия –
это просто и понятно !
Ответы:
Вариант 1:
Вариант 2:
1а, 2г, 3б, 4в
1б, 2а, 3б, 4а