Иррациональные числа

1.

2.

Иррациональные числа
Действительные
Иррациональные
Рациональные
Целые
Целые
отрицательные
Отрицательные
Положительные
Дробные
отрицательные
Дробные
положительные
Дробные
0
Натуральные

3.

Каждому действительному числу соответствует
единственная точка координатной прямой, и
каждой точке координатной прямой соответствует
единственное действительное число.
7,53…
5
х
01
– 10

4.

Иррациональные числа
1 см
5 см
2 см
x2 7
x1 7 , x2 7
Иррациональное число
Рациональное число
разумное число
ratio - разум
Иррациональное число
неразумное число

5.

Рассмотрим уравнения
x 4
2
x1 2, x 2 2.
x 9
2
x1 3, x 2 3.
2
x 5
x1 5 , x 2 5 .

6.

Иррациональные числа
5
2,2 5 2,3
2,23 5 2,24
2,236 4,999696 5
2
2,237 5,004167 5
2,236 5 2,237
5 2,236
– бесконечная
5 2,236 ... десятичная
2
непериодическая
дробь

7.

Иррациональные числа
Иррациональным числом называют
бесконечную десятичную непериодическую
дробь
n k , где k N, то n иррациональное число
2
3,141592.. .
5 иррациональное число
5 5 5 рациональное число
5 , 3 иррациональные числа
5 3 15 иррациональное число

8.

Среди рациональных чисел
нет такого числа, квадрат
которого равен 2.
8

9.

Иррациональные числа
Первоначально открытие иррациональных чисел
связано с открытием несоизмеримости
диагонали квадрата, с его стороной.
Одни приписывают данное открытие Пифагору,
другие некоторым другим пифагорейцам 5 в. до
н.э. “Современное” доказательство
иррациональности √2 есть уже у Аристотеля.
Доказательство иррациональности √3, √5 …√17
принадлежит Теодору из Нирены. Общее учение об
иррациональности создал Теэтет (ученик
Теодора). Возможно и терминология в теории
иррациональности введена Теодором.

10.

Иррациональные числа
Целое рациональное число называлось ariumoz;
отношение отрезков , т.е. любое действительное
число, logoz.
Греческое слово alogioz “не имеющее отношение”,
таким образом “относилось не к иррациональному
числу, а тем величинам, отношение которых
выражалось иррациональным числом”.
Современный термин появился как буквальный
перевод греческого и образован из латинского in
(ir)- отрицание и ratio-“отношение”. Термин ввел
Штифель. До этого иррациональные числа
называли “глухими”, “безгласными”- “surdi”.

11.

Иррациональные числа
Иррациональные числа в отличие от
рациональных не могут быть представлены в
виде обыкновенной несократимой дроби вида: m
n
где m и n – целые числа.
Это числа нового типа, которые могут быть
вычислены с любой точностью, но не могут быть
заменены рациональным числом. Они могут
появиться как результат геометрических
измерений, например:
- отношение длины диагонали квадрата к длине его
стороны равно иррациональному числу,
- отношение длины окружности к длине её
диаметра равно иррациональному числу

12.

Круги Эйлера.

13.

Множество рациональных +
множество иррациональных чисел =
множеству действительных чисел
R=
Рациональные
Иррациональные
МНОЖЕСТВО
действительных чисел

14.

Множество действительных чисел
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ
РАЦИОНАЛЬНЫЕ
ЦЕЛЫЕ
Z
N
НАТУРАЛЬНЫЕ
R
Q

15.

Пример №1
Среди данных чисел укажите рациональные и
иррациональные
1/7;
0;
1,25;
-2,(3);
0,818118111...
4,2(51);
217;
π

16.

Пример № 2

17.

Верно ли, что:
Каждое рациональное число
является действительным;
Каждое действительное число
является рациональным;
Каждое иррациональное число
является действительным;
Каждое действительное число
является иррациональным.