Теорема синусів

1.

Бутар Т.Б.
вчителя математики
Черкаської гімназії № 31
Черкаської міської ради

2.

Теорема синусів

3.

Наслідки з теореми синусів
Наслідок 1. У будь-якому відношення сторони до синуса
протилежного кута дорівнює діаметру кола, опосаного навколо цього .
a
b
c
2R
sin A sin B sin C
Увага! а=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC
Наслідок 2. У трикутнику проти більшої сторони лежить більший
кут, проти більшого кута лежить більша сторона.
Наслідок 3. (властивість бісектриси) Бісектриса кута ділить
протилежну сторону на відрізки, пропорційні до прилеглих сторін.
M
KC – бісектриса, тоді
MC KM
NC KN
C
N
K

4.

Які типи задач можна розв’язати за допомогою
теореми синусів?
I. За стороною і прилеглими до неї кутами знаходити
інші сторони і кути трикутника.
II. За двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з
них, знаходити інші сторони і кути трикутника.
III. За стороною і протилежним кутом знаходити радіус
кола, описаного навколо цього трикутника.

5.

Виконання усних вправ

6.

Виконання вправ
Приклад. У трикутнику ABC дано b = 9см, с = 11 см, B = 50°. Знайти С, A.
Дано: АВС ( див рис.), АС = 9 см, АВ = 11 см, B = 50°.
Знайти: A, C.
Розв'язання
За теоремою синусів
Звідси
В
b
c
sin B sin C
c sin B 11 sin 500 11 0,766
sin C
0,936
b
9
9
50
A
9 см
С
Цьому значенню синуса відповідає два кути 69° і 111°.
Тоді A = 180° - ( C + B), A = 180°- (50° + 69°) = 61° або A =180°-(50° +
111°)= 19°.
Відповідь. 69°, 61° або 111°, 19°.

7.

Виконання вправ
Приклад. У прямокутному трикутнику бісектриса гострого кута ділить протилежний
катет на відрізки завдовжки 8 см і 10 см. Знайти гіпотенузу трикутника.
Дано: АВС - прямокутний ( C= 90°) СК= 8 см, ВК= 10 см.
Знайти: АВ.
Розв 'язання
За властивістю бісектриси СК:ВК = АС: АВ = 8 : 10 = 4 : 5 .
Отже, АС становить 4 частини, АВ - 5 таких частин. Нехай одна частина дорівнює х
см, тоді АС = 4х см, АВ = 5х см.
СВ = 8 + 10 = 18 (см).
А
За теоремою Піфагора АВ2 = АС2 + СВ2.
Маємо:
(4х)2 + 182 = (5х)2; 16х2 + 324 = 25х2;
9х2 = 324, х2 = 36,
х = ±6, -6 — не задовольняє умову задачі.
Отже, х = 6, тоді АВ = 5 · 6 = 30 (см).
Відповідь. 30 см.
С 8 см
К 10 см
В

8.

Використані джерела
1. http://vmesteosa.blogspot.com/
2. Геометрія: підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч.
закладів / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полянський, М.С. Якір. –
Х.: Гімназія, 2017. -240 с. : іл.
3. Олійник Л.І., Геометричний тренажер. 9 клас.Тернопіль: Підручники і посібники, 2011.-160с.