Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

1.

Открытый банк заданий по математике http://mathege.ru:8080/or/ege/Main.action

2.

Повторение
sin A + cos A = 1
2
tg A + 1 = 12
cos A
2
A
sin
=
tg A
cos A
ctg A tg A = 1
2
2
: sin
cos A
ctg A + 1 =
2
1
2
sin A
A
cos
ctg A =
sin A
ctg A =
1
tg A

3.

a
sin А =
c
Повторение
А
b
= cos B sin B =
c
sin A = cos B
b
a
cos А = = sin B cos B =
c
c
c
b
cos A = sin B
a
tgА =
b
b
tgB =
a
1
tg A = B
tg
В
a
С
a
ctgB =
b
tg A = ctgB

4.

При решении задач о прямоугольном треугольнике
можно использовать теорему Пифагора.
А
2
2
AB = AC + BC
c
В
b
a
С
2

5.

1. В треугольнике ABC АС=ВС, AB=20, sinBAC=0,7. Найдите
высоту AH.
Из ABH
AH
sin B =
AB
7 AH
=
10 20
AH =
7 20
10
C
ABC р / б
BAC = B
sin BAC = sin B
H
sin BAC = 0,7
A
?
sin B = 0,7
B
20
В6
1 4
3
10 х
х

6.

3
2. В треугольнике ABC АB=ВС, AC=6, sinACB= .
5
Найдите высоту СH.
ABC р / б
ACB = A sin ACB = sin A
3
sin ACB =
5
C
CH
sin A =
AC
6
sin A =
A
Из ACH
?
3
5
B
В6
3 CH
=
5
6
6 3
CH =
5
18
CH =
5
H
3 , 6
3
10 х
х

7.

24
3. В треугольнике ABC АС=ВС, AB=5, AH – высота, sinBAC= .
25
Найдите BH.
ABC р / б
C
sin 2B + cos 2B = 1
BAC = B
2
24
2
+ cos B = 1
25
576
2
cos B = 1
625
49
24
2
sin BAC =
cos B =
25
625
7
cos
cos
B B= =
A
25
т.к.
B –острый угол
sin BAC = sin B
H
?sincosBB==247
25
25
B
5
В6
1 , 4
Из ABH
BH
cos B =
AB
7 BH
=
25
5
7 5
BH =
25
7
BH =
5
3
10 х
х

8.

4. В треугольнике ABC АB=ВС, AC=5, cosACB= 0,8.
Найдите высоту СH.
sin 2A + cos 2A = 1
ABC р / б
ACB = A
sin A + 0,8 = 1
cos ACB = cos A
2
2
cos ACB = 0,8
sin 2 A = 1 0,64
5
sin 2 A = 0,36
sinsinA A
= = 00,,66
т.к.
cos
sin A = 0,86
A
B
А –острый угол
В6
3
Из ACH
CH
sin A =
AC
?
6 CH
=
10
5
6 5
H
CH =
10
CH = 3
C
3
10 х
х

9.

5. В треугольнике ABC АС=ВС, AB=20, AH – высота,
cosBAC=0,25. Найдите BH.
ABC р / б
BAC = B
C
Из ABH
BH
cos B =
AB
25 BH
=
100 20
20 25
BH =
100
BH = 5
cos BAC = cos B
H
?cos B = 0,25
cos BAC = 0,25
A
B
20
В6
5
3
10 х
х

10.

20
.
5
6. В треугольнике ABC АС=ВС, AB=9, tgBAC=
Найдите высоту AH.
2
ctg B+ 1 =
1
sin 2 B
C
ABC р / б
BAC = B;
ctg B=
2
1
5
+1 =
2
sin
B
20
5
25
1
+
1
=
4 20
sin 2 B
20
tgBAC =
5
9
1
=
4 sin 2 B
A
4
2
sin B =
9
2
sinsinB B= =
3
т.к.
B –острый угол
tgBAC = tgB
H
?
220
5
sin
B
=
ctgB
=
tgB = 3
520
B
9
Из ABH
AH
sin B =
AB
2 AH
=
3
9
AH =
В6
6
1
tg B
3
10 х
х
2 9
3

11.

7.
20
В треугольнике ABC АС=ВС, AH – высота, AB=28, tgBAC=
.
3 10
Найдите BH.
2
tg B + 1 =
ABC р / б
BAC = B;
C
1
cos2 B
tgBAC = tgB
2
1
20
+1 =
2
cos
B
3 10
Из ABH
40
400
1
+1 =
9 10
cos 2 B
49
1
=
9 cos 2 B
9
cos 2 B =
49
3
sinBB= =
cos
7
т.к.
H
tgBAC =
B –острый угол
20
3 10
A
?tgB
203
cos=B =
BH
cos B =
AB
3 10
7
28
В6
3 BH
=
7 28
B
4
3 28
BH =
71
1 2
3
10 х
х

12.

8. В треугольнике ABC АС=ВС=30 11, sinBAC=0,1.
Найдите высоту AH.
ABC р / б
sin 2B + cos 2B = 1
BAC = B; sin BAC = sin B
2
FB
0,1 + cos 2 B = 1
C
cos
B
=
Из CBF :
CB
2
cos B = 1 0,01
3 11
FB
=
99
10
30 11
cos 2 B =
30 11
30 11
100
3 11 30 11
3 11
FB =
cos
B B= =
cos
10
H
10
т.к. B –острый угол
FB = 99
3 11
sin BAC = 0,1
Из ABH
AH
sin B =
;
A
AB
1 AH
1 198
=
; AH =
10 198
10
?
cos B =
sin B = 0,110
F
198
B
В6
1 9 , 8
3
10 х
х

13.

1
В
треугольнике
ABC
АС=ВС=72,
AH
–
высота,
sinBAC=
.
9.
6
Найдите BH.
ABC р / б
sin 2B + cos 2B = 1
2
1
2
+ cos B = 1
6
1
2
cos B = 1
36
35
2
cos B =
36
35
cos
B B= =
cos
6
т.к.
B –острый угол
sin BAC =
1
6
BAC = B; sin BAC = sin B
C
FB
cos
B
=
Из CBF :
CB
35 FB
=
6
72
72
72
35 72
FB =
H
6
FB = 12 35
?
135
Из ABH
BH
A
F
cos B =
;
24 35
AB
35
AH
=
; AH = 24 35 35
6
24 35
6
cos
sin BB==
66
B
В6
1 4 0
3
10 х
х

14.

10. В треугольнике ABC АС=ВС=16 15, cosBAC=0,25.
Найдите высоту AH. ABC р / б
sin 2B + cos 2B = 1
BAC = B; cos BAC = cos B
2
1
C
FB
2
sin B + = 1
cos
B
=
Из CBF :
4
CB
1
2
sin B = 1
1
FB
16
=
15
4 16 15
16 15
16 15
sin 2 B =
16
16 15 1
15
FB =
sinsinB B= =
H
4
4
FB = 4 15
т.к. B –острый угол
15
?
sin B =
cos B = 0,25
4
cos BAC = 0,25
Из ABH
A
F
AH
sin B =
;
8 15
AB
15
AH
8 15 15
=
; AH =
4
4
8 15
B
В6
3 0
3
10 х
х

15.

4
11. В треугольнике ABC АС=ВС=10, AH – высота, cosBAC= .
5
Найдите BH.
ABC р / б
Из ABH
cos B =
BH
;
AB
4 BH
=
;
5 16
BH =
4 16
5 cos BAC = 4
BAC = B; cos BAC = cos B
C
FB
cos
B
=
Из CBF :
CB
4 FB
=
5 10
10
10
10 4
FB =
5
H
FB = 8
?
cos B =
5
BH = 12,8
A
F
16
4
5
B
В6
1 2 , 8
3
10 х
х