ОГЭ по математике. Задание 16

1.

Прототипы 16 задания

2.

Повторение (2)
Ответ: 70
2

3. Повторение

В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны
В треугольнике сумма углов равна 180°
3

4.

Повторение (3)
∠ВСА = 180° - 57° - 117°=6°
Ответ: 6
4

5. Повторение

Внешний угол треугольника – это угол, смежный
с углом треугольника
Сумма смежных углов углов равна 180°
В треугольнике сумма углов равна 180°
5

6.

Повторение (3)
BAC BAL LAC 23 23 46
Ответ: 111
6

7. Повторение

В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны
Биссектриса – это луч, который делит угол
пополам
В треугольнике сумма углов равна 180°
7

8.

Один из углов параллелограмма на
46° больше другого. Найти больший
из них.
∠А+∠D=180°
Повторение (2)
Пусть ∠А=х°, тогда∠D=(х+46)°
х+х+46=180
2х=134
х=67
∠D =2∙67°=134°
Ответ: 134
8

9. Повторение

Параллелограмм – это четырехугольник, у
которого противоположные стороны
параллельны.
Если две параллельные прямые пересечены
третьей, то сумма внутренних односторонних
углов равна 180°
9

10.

Найти больший угол
параллелограмма АВСD.
Повторение (2)
∠DCВ=∠АCD+∠АСВ=23°+49°=72°
∠С+∠В=180°
∠В=180°-∠В=180°-72°=108°
Ответ: 108
10

11. Повторение

Если угол разделен на части, то его градусная
мера равна сумме градусных мер его частей.
В параллелограмме сумма соседних углов
равна 180°
11

12.

Углы ромба относятся
как 3:7 .
Повторение
Найти больший
угол. (2)
∠1+∠2=180°
Пусть K – коэффициент пропорциональности,
тогда ∠2=(3k)°, ∠1=(7k)°
3k+7k=180
10k=180
k=18
∠1=18°∙7=126°
Ответ: 126
12

13. Повторение

В ромбе противоположные стороны
параллельны
Если две параллельные прямые пересечены
третьей, то сумма внутренних односторонних
углов равна 180°
13

14.

Разность
противолежащих
углов трапеции
Повторение (2)
равна 68°. Найти
больший угол.
∠А+∠В=180°
∠В=∠С
Если ∠А=х°, то ∠В = (х+68)°
х+х+68=180
2х=180-68
х = 56
∠В=56°+68°=124°
Ответ: 124
14

15. Повторение

В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны.
Сумма углов, прилежащих боковой стороне
трапеции равна 180°.
15

16.

В
5
3
cos B
5
С
Найти АС.
А
ВС
cos B
АВ
⇒
ВС 3
АВ 5
Повторение (2)
⇒
ВС 3
По теореме Пифагора
2
2
2
2
АС АВ ВС 5 3 4
Ответ: 4
16

17. Повторение

Косинус острого угла прямоугольного
треугольника равен отношению прилежащего
катета к гипотенузе
В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов
17

18.

15
tgA
8
В
15
С
Найти АВ.
Повторение (2)
А
ВС
tgA
АC
⇒
ВС 15
АC 8
⇒
AС 8
По теореме Пифагора
2
2
2
2
АB АC ВС 8 15 17
Ответ: 17
18

19. Повторение

Тангенс острого угла прямоугольного
треугольника равен отношению
противолежащего катета к прилежащему
В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов
19

20.

С
В
26
H
2
cos А
2
Найти АВ.
А
Повторение (3)
BH = HA, значит АВ = 2 AH.
2
cos А
А 45
2
HA = СH = 26 ⇒
АВ = 2 ∙26 = 52
Ответ: 52
20

21. Повторение

Высота в равнобедренном треугольнике,
проведенная к основанию, является и медианой
В прямоугольном треугольнике сумма острых
углов равна 90⁰
Если в треугольнике два угла равны, то такой
треугольник равнобедренный
21

22.

С
Найти CH.
78 3
Повторение (2)
А
В
H
BH=HA, зн. АH=½ AB= 39 3
По теореме Пифагора в ∆ACH
СH АC 2 AH 2 (78 3)2 (39 3)2 117
Ответ: 117
22

23. Повторение

Высота в равнобедренном треугольнике,
проведенная к основанию, является и медианой
В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов
23

24.

С
Найти AB.
120⁰
Повторение (3)
25 3
В
H
А
Проведем высоту CH, получим ∆ВCH.
∠ВCH=60⁰ ⇒ ∠CВH=30⁰
1
⇒ CH 25 3
2
По теореме Пифагора в ∆BCH
1
2
2
2
BH BC CH (25 3 ) ( 25 3 ) 2 37,5
2
AB 2 37,5 75
Ответ: 75
24

25. Повторение

Высота в прямоугольном треугольнике,
проведенная к основанию является
биссектрисой и медианой
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий
против угла в 30⁰, равен половине гипотенузы
В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов
25

26.

В
А
1
2
3
Е
С Дано: параллелограмм, BE –
биссектриса ∠B, P=10,
D АЕ:ЕD=1:3.
Найти: AD
∠1=∠3 как накрест лежащие при секущей ВЕ
∠3=∠2 так как ∠1=∠2 по условию ⇒ АВ=АЕ
Пусть АЕ=х, тогда АВ=х, ЕD=3х
Повторение (4)
Р=2∙(х+4х) ⇒ 2∙(х+4х)=10
5х=5
Х=1
AD=4∙1=4
Ответ: 4
26

27. Повторение

Биссектриса – это луч, который делит угол
пополам
Периметр многоугольника – это сумма длин всех
сторон многоугольника
При пересечении двух параллельных прямых
накрест лежащие углы равны
Если два угла в треугольнике равны, то
треугольник - равнобедренный
27

28.

В
М
А 51
С
?
H
94
E
К
D
АВСD – трапеция, AH=51,
HD=94
Найти среднюю линию трапеции
Повторение (3)
Проведем СЕ⍊AD, получим ∆ABH=∆CED и
прямоугольник BCEH
⇒
AH=ЕD=51, BC=HE=HD-ED=94-51=43,
⇒ AD=AH+HE+ЕD= 51+94=145
AD BC
⇒
MK
2
145 43
MK
94
2
Ответ: 94
28

29. Повторение

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного
треугольника соответственно равны гипотенузе и
катету другого треугольника, то треугольники равны
Если отрезок точкой разделен на части, то его
длина равна сумме длин его частей
Средняя линия трапеции равна полусумме
оснований трапеции
29

30.

С
Найти площадь треугольника.
8
В
30⁰
3
S ABC
Повторение (1)
А
1
S ABC AC AB sin A
2
1
S ABC 8 3 sin 30o
2
1
1
24 6
2
2
Ответ: 6
30

31. Повторение

Площадь треугольника равна половине
произведения двух сторон на синус угла между
ними
31

32.

С
В H
3
АВ=3CH.
Найти площадь треугольника
АВС
А
Повторение (2)
АВ=3CH=3∙3=9
1
S ABC AB CH
2
1
S ABC 3 9 13,5
2
Ответ: 13,5
32

33. Повторение

Высота треугольника – это отрезок,
проведенный из вершины к противоположной
стороне под прямым углом
Площадь треугольника равна половине
произведения основания на высоту
33

34.

С
D
В
8
5
А
2 Найти S∆ABC
cos A
.
2
Повторение (2)
S ABCD AD AB sin A
2 2
2
sin A 1 cos A 1 (
)
2
2
2
S ABCD
2
8 5
20 2
2
Ответ: 20 2
34

35. Повторение

Площадь параллелограмма равна
произведению двух сторон на синус угла между
ними
Сумма квадратов синуса и косинуса одного и
того же угла равна единице
35

36.

А
В
С
D
Диагонали ромба равны 12 и
7.
Найти площадь ромба.
Повторение (2)
S ABC
S ABC
1
AC BD
2
1
12 7 42
2
Ответ: 42
36

37. Повторение

Ромб – это параллелограмм с равными
сторонами
Площадь ромба равна половине произведения
его диагоналей
37

38.

В
60⁰
А
О
С
АС=10.
Найти площадь прямоугольника
D
Повторение (5)
АО=ВО=10:2=5
В ∆АОВ, где ∠ВАО= ∠АВО=(180⁰-60⁰):2=60⁰ ⇒
АВ=5
По теореме Пифагора в ∆АВD
ÀD ÂD2 AÂ2 102 52 5 3
S AB AD 5 5 3 25 3
Ответ: 25 3
38

39. Повторение

Диагонали прямоугольника равны и делятся
точкой пересечения пополам
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны
Если угол разбит на части, то его градусная мера
равна сумме его частей
В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов
Площадь прямоугольника равна
произведению соседних сторон
39

40.

В
А H
С
14
ABCD – трапеция. ВС в 2 раза меньше
AD. Найти площадь трапеции
Повторение (2)
D
S ABCD
AD BC
BH
2
ВС=14:2=7
BC=BH=7
S ABCD
14 7
7 73,5
2
Ответ: 73,5
40

41. Повторение

Трапеция – это четырехугольник, две стороны
которого параллельны
Площадь трапеции равна произведению
полусуммы оснований на высоту
41

42.

В
А
М
135
⁰
8
С
К
H
AD BC
MK
8
2
∠АВH=135⁰-90⁰=45⁰
D
ABCD – равнобедренная
трапеция MK=8, боковая
сторона равна 5.
Найти площадь трапеции.
Повторение (4)
⇒
∠ВАH= ∠АВH=45⁰
По теореме Пифагора в ∆АВH, где AH=BH=х ⇒
1
1 2
5
BH
AÂ 2
5
2
2
2
AD BC
5
S ABCD
BH ⇒ S ABCD 8
20 2
2
2
Ответ: 20 2
42

43. Повторение

Площадь трапеции равна произведению
полусуммы оснований на высоту
Средняя линия трапеции равна полусумме
оснований
Если в прямоугольном треугольнике острый угол
равен 45⁰, то и другой острый угол равен 45⁰
В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов
43

44.

С
В
Найти угол АВС (в градусах)
Повторение (3)
А
Проведем из произвольной точки луча ВА перпендикуляр до
пересечения с лучом ВС
Получим прямоугольный равнобедренный треугольник
⇒
∠С=∠В=45⁰
по свойству острых углов прямоугольного
треугольника
Ответ: 45
44

45. Повторение (подсказка)

Треугольник называется прямоугольным, если в
нем имеется прямой угол
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны
Сумма острых углов прямоугольного
треугольника равна 90⁰
45

46.

С
А
В
Найти угол АВС (в градусах)
D
Повторение (4)
Проведем из произвольной точки луча ВС перпендикуляр к
прямой АВ до пересечения с ней
Получим прямоугольный равнобедренный треугольник BCD
⇒ ∠С=∠В=45⁰ по свойству острых углов
прямоугольного треугольника
∠ABС+∠CВD=180⁰ как смежные ⇒
∠ABС=180⁰ - ∠CВD=135⁰
Ответ:135
46

47. Повторение (подсказка)

В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны
Сумма острых углов прямоугольного
треугольника равна 90⁰
Смежными углами называются углы, у которых
есть общая сторона, а две другие являются
дополнительными лучами
Сумма смежных углов равна 180⁰
47

48.

С
4
А
3
В
Найти синус угла ВАС
Повторение (2)
BC
sin BAC
AC
По теореме Пифагора в ∆АВС
AC AB 2 BC 2 32 42 5
4
sin BAC 0,8
5
Ответ: 0,8
48

49. Повторение (подсказка)

Синусом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение
противолежащего катета к гипотенузе
В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов
49

50.

С
3
А
6 2
Найти косинус угла ВАС
В
Повторение (2)
AC
cos BAC
AB
По теореме Пифагора в ∆АВС
AB AC 2 BC 2 ( 3)2 (6 2 )2 75 5 3
3 1
cos BAC
0,2
5 3 5
Ответ: 0,2
50

51. Повторение (подсказка)

Косинусом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение
прилежащего катета к гипотенузе
В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов
51

52.

А
Найти тангенс угла ВАС.
13
С
12
В
Повторение (2)
BC
tgBAC
AC
По теореме Пифагора в ∆АВС
AC AB2 BC 2 132 122 5
12
tgBAC
2,4
5
Ответ: 2,4
52

53. Повторение (подсказка)

Тангенсом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение
противолежащего катета к прилежащему
В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов
53

54.

Найти тангенс угла АВС.
С
В
А
Повторение (3)
Проведем из произвольной точки луча ВА перпендикуляр
до пересечения с лучом ВС.
Получим прямоугольный равнобедренный треугольник ⇒
∠С=∠В=45⁰ по свойству острых углов
прямоугольного тр-ка
0
tg 45 1
Ответ: 1
54

55. Повторение (подсказка)

В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны
Сумма острых углов прямоугольного
треугольника равна 90⁰
Тангенс угла в 45⁰ равен единице
55

56.

Найти косинус угла АВС
С
В
А
Повторение (2)
Проведем перпендикуляр из такой точки луча ВА до
пересечения с лучом ВС, чтобы в катетах треугольника АВС
укладывалось целое число единиц измерения.
В данном случае единицей измерения стала клетка.
AB где АВ=3, АС=4, значит по
cos ABC
, теореме Пифагора ВС=5
BC
(Пифагоров треугольник)
3
cos ABC 0,6
5
Ответ: 0,6
56

57. Повторение (подсказка)

Косинусом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение
прилежащего катета к гипотенузе
В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов
57

58. Рекомендации ученикам

Научитесь выделять и понимать главное в материале,
т.к. умение решать задачи является следствием
глубоко понятого соответствующего теоретического
материала.
Совершенствуйте
навыки.
свои
вычислительные
умения
и

59.

«ОГЭ-2018. Математика: типовые экзаменационные
варианты: 36 вариантов» под редакцией И. В. Ященко. – М.:
Изд. «Национальное образование», 2018.
http://plokna.ru/smajliki/anime-knigi.html
http://www.grafamania.net/uploads/posts/200
8-08/1219611582_7.jpg
http://www.grafamania.net/uploads/posts/200
9-07/thumbs/1246640277_001.jpg