4e5e12977a0d49ebbfae5e8a94d4125f

1. ОГЭ 2025 Модуль ГЕОМЕТРИЯ

1

2. Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11

С
Найти площадь треугольника.
8
В
30⁰
Повторение (3)
А
1
S ABC AC AB sin A
3
2
1
S ABC 8 3 sin 30o
2
1
1
S ABC 24 6
2
2
Ответ: 6.
2

3. Повторение

Площадь треугольника равна половине
произведения двух сторон на синус угла между
ними
3

4. Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11

В
7
С
Катет АС на 2 больше катета ВС.
Найти площадь треугольника
А
Повторение
АС=ВС+2=7+2=9
1
S ABC AC BC
2
1
S ABC 7 9 31,5
2
Ответ: 31,5.
4

5. Повторение

Площадь прямоугольного треугольника равна
половине произведения катетов.
5

6. Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11

А
В
4
1
cos A
2
Найти площадь треугольника
Повторение (3)
С
sin 2 A cos 2 A 1
1 2
3
sin A 1 cos A 1 ( )
2
2
1
S ABC AC AB sin A
2
1
3
S ABC 4 4
4 3
2
2
2
Ответ: 4 3 .
6

7. Повторение

Площадь треугольника равна половине
произведения двух сторон на синус угла между
ними
Сумма квадратов синуса и косинуса одного и
того же угла равна единице
7

8. Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11

С
В H
АВ=3CH.
Найти площадь треугольника АВС
3
А
Повторение (2)
АВ=3CH=3∙3=9
1
S ABC AB CH
2
1
S ABC 3 9 13,5
2
Ответ: 13,5.
8

9. Повторение

Высота треугольника – это перпендикуляр,
проведенный из вершины к противоположной
стороне или ее продолжению.
Площадь треугольника равна половине
произведения основания на высоту.
9

10. Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11

В
1
r
2
Повторение (2)
O
С
Найти S∆ABC
P∆ABC =6.
А
1
S ABC P ABC r
2
1
1
S ABC 6 1,5
2
2
Ответ:1,5 .
10

11. Повторение

Вписанной в треугольник окружностью
называется окружность, которая касается всех
сторон треугольника
Если в треугольник вписана окружность, то
площадь треугольника равна произведению
полупериметра треугольника на радиус
вписанной окружности
11

12. Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11

С
D
В
8
5
А
2 Найти S∆ABC
cos A
.
2
Повторение (2)
S ABCD AD AB sin A
2 2
2
sin A 1 cos A 1 (
)
2
2
2
2
S ABCD 8 5
20 2
2
Ответ: 20 2 .
12

13. Повторение

Площадь параллелограмма равна
произведению двух сторон на синус угла между
ними
Сумма квадратов синуса и косинуса одного и
того же угла равна единице
13

14. Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11

В
А
С
D
Диагонали ромба равны 12 и 7.
Найти площадь ромба.
Повторение (2)
1
S ABC AC BD
2
1
S ABC 12 7 42
2
Ответ: 42.
14

15. Повторение

Ромб – это параллелограмм с равными
сторонами
Площадь ромба равна половине произведения
его диагоналей
15

16. Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11

В
А
С
16
H
ABCD – трапеция. ВС в 2 раза меньше AD.
Найти площадь трапеции
D
Повторение (2)
AD BC
S ABCD
BH
2
ВС=16:2=8
BC=ВH=8
16 8
S ABCD
8 96
2
Ответ: 96.
16

17. Повторение

Трапеция – это четырехугольник, две стороны
которого параллельны, а две другие нет.
Площадь трапеции равна произведению
полусуммы оснований на высоту.
17

18. Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11

В
О
60⁰
А
С
АС=10.
Найти площадь прямоугольника
D
Повторение (2)
АС=ВС=10
1
1
3
S AС ВD sin AOB 10 10
25 3
2
2
2
Ответ: 25 3 .
18

19. Повторение

Диагонали прямоугольника равны.
Площадь любого выпуклого четырёхугольника
равна половине произведения его диагоналей
на синус угла между ними.
19

20. Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11

В
А
М
С
135⁰
8
H AD BC
MK
К
D
ABCD – равнобедренная трапеция
MK=8, боковая сторона равна 5.
Найти площадь трапеции.
Повторение (4)
8
2
∠АВH=135⁰-90⁰=45⁰
∠ВАH= ∠АВН=45⁰
По теореме Пифагора в ∆АВH, где AH=BH
1
1 2
5
2
BH
AВ
5
2
2
2
5
AD BC
20 2
S ABCD
BH ⇒ S ABCD 8
2
2
Ответ: 20 2 .
20

21. Повторение

Площадь трапеции равна произведению
полусуммы оснований на высоту.
Средняя линия трапеции равна полусумме
оснований.
Если в прямоугольном треугольнике острый угол
равен 45⁰, то и другой острый угол равен 45⁰.
В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
21

22. Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11

С
P∆ABC =98.
Найти S∆ABC
Повторение (4)
25
А
В
АВ=P∆ABC –2ВС=98–2∙25=48
H
Т.к. ∆АВС равнобедренный, то АH=HB=48:2=24
По теореме Пифагора в ∆АСH
CH AC 2 AH 2 252 242 7
1
S ABC AB CH
2
1
S ABC 48 7 168
2
Ответ: 168.
22

23. Повторение

Периметр треугольника – это сумма длин
сторон треугольника.
Высота в равнобедренном треугольнике,
проведенная к основанию является медианой.
В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Площадь треугольника равна половине
произведения основания на высоту.
23

24. Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11

С
А
H
В прямоугольном треугольнике высота,
проведенная из вершины прямого угла,
равна медиане, проведенной из того же угла,
В АВ=6. Найти S∆ABC
Повторение (4)
Если высота треугольника равна медиане, то ∆АВС –
равнобедренный с основанием АВ ⇒ ∠А=∠В=45⁰
∆HBC прямоугольный и равнобедренный, так как∠В=45⁰
⇒ CH=HВ=AB:2=3
1
S ABC AB CH
2
1
S ABC 6 3 9
2
Ответ: 9.
24

25. Повторение

Если высота треугольника является и
медианой, то такой треугольник
равнобедренный
Если прямоугольный треугольник
равнобедренный, то его острые углы равны 45⁰
В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов
Площадь треугольника равна половине
произведения основания на высоту
25

26. Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11

А
Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11
3
cos B
2
6
В
H
Сcos B BH
AB
Найти S∆ABC
Повторение (4)
3
⇒ BH 3 ⇒ BH 3 3
2
6
2
Т.к.∆АBC равнобедренный, то AH – медиана ⇒ BC=2BH= 6 3
По теореме Пифагора в ∆АВH
2
2
2
2
AH AB BH 6 (3 3) 3
1
S ABC BC AH
2
1
S ABC 6 3 3 9 3
2
Ответ: 9 3 .
26

27. Повторение

Косинус острого угла прямоугольного
треугольника равен отношению прилежащего
катета к гипотенузе.
Высота прямоугольного треугольника,
проведенная к основанию, является медианой.
В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Площадь треугольника равна половине
произведения основания на высоту.
27

28. Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11

А
В
5
15
D
С
Четырехугольник АВСD описан около
окружности радиуса 4,5.
Найти
S∆ABCD.
Повторение (2)
AB+DC=AD+BC = 20
1
1
S ABCD P r 40 4,5 90
2
2
Ответ: 90.
28

29. Повторение

Если в четырехугольник можно вписать
окружность, то суммы противоположных
сторон четырехугольника равны.
Площадь такого четырёхугольника равна
произведению полупериметра на радиус
вписанной в него окружности.
29

30. Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11

А
18
В
С
60⁰
ABCD – ромб.
Найти площадь ромба.
Повторение (2)
D
S ABCD AB AD sin A
3
S ABCD 18 18
162 3
2
Ответ: 162 3 .
30

31. Повторение

Ромб – это параллелограмм, у которого все
стороны равны.
Площадь параллелограмма равна
произведению двух его соседних сторон на
синус угла между ними.
31

32. Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11

С
3
В
5
4
А
D
С
D
Найти площадь параллелограмма
Повторение (2)
3
В
5
4
Так как ∆АВС – прямоугольный, то
параллелограмм является
прямоугольником.
А
S ABCD AB CD
S ABCD 3 4 12
Ответ: 12.
32

33. Повторение

Треугольник, в котором стороны равны 3,4,5
называется Египетским (т.е. треугольник
является прямоугольным)
Площадь прямоугольника равна произведению
его измерений.
33

34. Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11

А
O
30⁰
Дуга сектора равна 8π. Найти площадь
сектора.
Повторение (2)
В
Сокр.=360⁰:30⁰∙ 8π=96π
C
Сокр.=2πr ⇒ r
2
S сек .
r
2
96
48
2
360
48 2
0
S сек .
30
192
0
360
Ответ: 192π .
34

35. Повторение

Длина окружности равна удвоенному
произведению числа π на радиус окружности
r
Площадь кругового сектора
S сек .
вычисляется по формуле
360
2
35

36. Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11

Найти площадь кольца
3
5
Повторение (2)
S r2
Sкольца r12 r22 ⇒
Sкольца 52 32 (25 9) 16
Ответ: 16 .
36

37. Повторение

Площадь круга равна произведению числа π
на квадрат радиуса круга
Если фигура разделена на части, то его
площадь равна сумме площадей его частей
37

38. Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11

С
Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11
6 3
А
В
Найти площадь круга, вписанного в
равносторонний треугольник
Повторение (3)
a3 6 3
6
a3 R 3 ⇒ R
3
3
1
1800
1
0
r R сos
R cos 60 R ⇒ r 6 3
2
n
2
S r2
S 3 9
2
Ответ: 9 .
38

39. Повторение

Сторона правильного треугольника, в который
вписана окружность, равна a3 R 3
Радиусы вписанной и описанной окружности
около правильного многоугольника связаны
1800
формулой r R сos
n
Площадь круга равна произведению числа π
на квадрат радиуса круга
39

40. Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11

Найти площадь круга, вписанного в
квадрат со стороной 18.
18
Повторение (3)
a4
18
9 2
2
2
0
2
180
2
0
9 2 9
r R соs
R cos 45
R⇒ r
2
n
2
a4 R 2
⇒ R
S r2
S 9 81
2
Ответ: 81 .
40

41. Повторение

Сторона правильного четырехугольника, в
который вписана окружность, равна a4 R 2
Радиусы вписанной и описанной окружности
около правильного многоугольника связаны
1800
формулой r R соs
n
Площадь круга равна произведению числа π
на квадрат радиуса круга
41