Собственные векторы и собственные числа матриц

1. Собственные векторы и собственные числа матриц

2. Определение

Собственный вектор — понятие в линейной
алгебре,
определяемое
для
квадратной
матрицы
или
произвольного
линейного
преобразования как вектор, умножение матрицы
на который или применение к которому
преобразования даёт коллинеарный вектор — тот
же вектор, умноженный на некоторое скалярное
значение, называемое собственным числом
(значением)
матрицы
или
линейного
преобразования.

3. Метод нахождения собственных векторов и собственных значений матриц

Определение: Всякий ненулевой столбец X
называется собственным вектором матрицы
A, если найдется такое число λ, что
выполняется неравенство
Это число λ и является собственным
значением матрицы A, соответствующим
собственному вектору X.

4. Метод нахождения собственных векторов и собственных значений матриц

Пример:
Подберем для матрицы A матрицу-столбец
такую, что будет выполняться равенство

5. Метод нахождения собственных векторов и собственных значений матриц

;
Метод нахождения собственных векторов и
собственных значений матриц
Дано:
a1
A
b1
a
b
2
2
x1
X
x2
X E X ( E ) X
A X ( E ) X или ( A E ) X 0
a1
A E
b1
a 1 0 a a 0 a a
b 0 1 b b 0 b b
2
1
2
2
1
2
a1
( A E ) X 0
b1
1
2
1
x1 0
b2 x 2 0
a
2
2

6. Характеристическое уравнение и его корни. Координаты собственного вектора.

Получаем систему уравнений:
(a1 ) x1 a 2 x2 0
b1 x1 (b1 ) x2 0
Найдем определитель:
(a1 )
b
2
a
2
(b2 )
0
Характеристическое уравнение:
( a b ) a b a b 0
2
1
2
1
2
2
1

7. Задача

,
Задача
,
,
Найти собственные значения и собственные
векторы матрицы: 1 1 1
A 1 1 1
2 1 0
Составляем характеристическое уравнение:
(1 )
1
1
1
(1 ) 1 ( 1 2 3 ) ( 1 2) (1 2 2 1)
2
1
( )
3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 ( 2) ( 2) ( 2)( 2 1) 0
Корни уравнения:
1 1, 2 1, 3 2

8. Задача

Записываем систему для нахождения собственных векторов
(1 ) x1 x2 x3 0
x1 (1 ) x2 x3 0
2 x x ( ) x 0
3
1 2
1) Подставляем 1
1
x2 x3 0
x1 x3 0
2 x x x 0
1 2 3
Решение системы может быть записано через свободное
1
неизвестное x
3
Взяв x3 1, получим первый собственный вектор X 1 1
1

9. Задача

2) Подставляем
2 1
2 x1 x2 x3 0
x1 2 x2 x3 0
2 x x x 0
1 2 3
Решение системы может быть записано через одно свободное
неизвестное x1
1
Взяв x1 1 , получим второй собственный вектор X 2 3
5
3) Подставляем 3 2
x1 x2 x3 0
x1 x2 x3 0
2 x x 2 x 0
3
1 2
Решение системы может быть записано через одно свободное
неизвестное x1
1
При x1 1 получим третий свободный вектор X 3 0
1

10. Свойства собственных векторов

1. Собственные векторы, соответствующие
различным собственным значениям, линейно
независимы.
2. Ненулевая линейная комбинация собственных
векторов, соответствующих одному собственному
значению, является собственным вектором,
соответствующим тому же собственному значению.
3. Пусть ( A E ) — присоединенная матрица для
характеристической матрицы ( A E ) . Если λ0 —
собственное значение матрицы A, то любой
ненулевой столбец матрицы ( A E ) является
собственным вектором, соответствующим
собственному значению λ0.

11. Теорема о собственных значениях матрицы

Все корни характеристического
многочлена (характеристического
уравнения) и только они являются
собственными значениями
матрицы.

12. Приведение к каноническому виду уравнений кривых второго порядка

Ax2 2Bxy Cy 2 Dx Ey F 0
Преобразование квадратичной части уравнения: Ax 2By Cy
2
Выпишем матрицу квадратичной формы
A
B
0
B
C
2 ( A C ) AC B 2 0
A B
B C
2

13. Приведение к каноническому виду уравнений кривых второго порядка

( A )m Bn 0
Bm (C )n 0
Подставим в систему значения λ1 и λ2 и найдем координаты
X ( m ; n ) и X (m ; n )
1
1
1
2
2
2
Если по собственным векторам направить соответственно оси OX`
и OY` новой системы координат, квадратичная часть уравнения
не будет содержать члена с произведением xy и примет вид:
Ax 2 Bxy Cy 1 x 2 y
2
2
'2
'2