806.05K

Category: $mathematics$ mathematics

Ряды динамики

Ряды динамики (временные ряды)
применяются для изучения
изменения явлений во времени. Ряд
динамики представляет собой ряд
числовых значений определенного
статистического показателя в
последовательные моменты или
периоды времени

3.

РЯД ДИНАМИКИ
последовательность
изменяющихся во времени
значений статистического
показателя , расположенного в
хронологическом порядке

4.

Составными элементами ряда
динамики являются показатели
уровней ряда и периоды времени
(годы , кварталы , сутки) или
моменты (даты) времени. Уровни
ряда обычно обозначаются через
«y» , моменты или периоды
времени , к которым относятся
уровни – через «t»

5.

Пример
t
yi
2004
15
2005
17
2006
18,5
2007
19
2008
21
Здесь t – время;
yi – производство продукции, тыс. шт.

6.

В зависимости от способа
выражения уровней ряда ряды
динамики делятся на ряды :
абсолютных
относительных
средних величин

7.

В зависимости от того , как выражают
уровни ряда (на начало месяца или за
период),выделяют моментные и
интервальные ряды динамики
В зависимости от расстояния между
уровнями ряды динамики бывают с
равностоящими и неравностоящими
уровнями во времени
В зависимости от наличия основной
тенденции изучаемого процесса ряды
динамики подразделяются на
стационарные и нестационарные

8.

Ряды динамики подразделяются на
моментные и интервальные.
Моментным называется ряд,
абсолютные уровни которого
характеризуют величину явления по
состоянию на определенные моменты
времени или даты. (Например,
численность населения, уровни
товарных остатков)

9.

Интервальным называется такой ряд,
абсолютные уровни которого
представляют собой итоговые величины за
некоторые интервалы времени (например,
производство продукции за месяц; число
родившихся за месяц, год).
Особенностью интервальных рядов является то,
что их уровни можно дробить и складывать

10.

Выделяют также производные ряды
динамики, которые состоят из средних
или относительных величин. Они
рассчитываются на основе моментных
или интервальных рядов. (Например,
среднегодовая численность населения)

11.

Основные показатели,
применяемые для анализа рядов
динамики

12.

Анализ скорости и интенсивности
явления во времени
осуществляется с помощью
статистических показателей , которые
получаются в результате сравнения
уровней между собой . Сравниваемый
уровень называют отчётным , а
уровень , с которым происходит
сравнение – базисным

13.

Различают показатели изменения
уровней ряда и средние
характеристики рядов динамики

14.

Ряды динамики
Абсолютные
величины
Относительны
е величины
Средние
величины
Интервальные
Интервальные
и Моментные

15.

К показателям изменения уровней
ряда относятся абсолютный
прирост, коэффициент роста и
прироста, темп роста и
прироста, абсолютное
значение 1% прироста (роста)

16.

1.Абсолютные приросты бывают
цепными и базисными. Абсолютный
прирост показывает, на сколько
изменился изучаемый показатель по
сравнению с предыдущим или базисным
периодом времени

17.

Базисный абсолютный
прирост:
ΔБ Yi Y0 ,
где y 0 - базисный уровень ряда

18.

Цепной абсолютный
прирост:
Δц Yi Yi 1 ,
где Yi - текущий уровень ряда;
Yi 1 - предыдущий уровень
ряда

19.

Год
yi D ц Δ б k
ц
P
k
б
P
ц
р
б
р
ц
пр
%
б
пр
2004
15
-
0
-
1
-
100
-
0
-
17
2
2
1,133
1,133
113,3
113,3
13,3
13,3
0,150
18,5
1,5
3,5
1,088
1,233
108,8
123,3
8,8
23,3
0,170
19
0,5
4
1,027
1,266
102,7
126,6
2,7
26,6
0,185
21
2
6
1,105
1,400
110,5
140,0
10,5
40,0
0,190
2005
2006
2007
2008
ц

20.

2. Коэффициент роста
показывает, во сколько раз изменился
изучаемый показатель по сравнению
с предыдущим периодом времени
или с базисным периодом времени.
Соответственно коэффициент роста
может быть цепным и базисным

21.

Цепной коэффициент
роста:
ц
K Pi
y
i
yi-1

22.

Базисный коэффициент
роста:
yi
K
y0
б
Pi

23.

3.Темпы роста – это
коэффициенты роста, выраженные в
процентах (они также могут быть
цепными, базисными и средними):
Tр= Kp • 100 (%)

24.

Темп роста:
а) базисный:
/
*
100
y
y
Tp
i
0
б) цепной :
/
100
y
y
Tp
i
i 1

25.

4.Темп прироста используется для
выражения величины абсолютного
прироста уровней ряда динамики в
относительных величинах:
100
T np T p

26.

Темп прироста показывает, на
сколько процентов изменился
изучаемый показатель по сравнению
с предыдущим периодом времени
или с базисным периодом времени.
Цепной темп прироста:
Yi Yi 1
ц
ц
Т прi
100 Т pi 100
yi-1

27.

Базисный темп прироста
Т
б
ПРi
Yi Y 0
б
100 Т pt 100
y0

28.

5.Абсолютное значение одного
процента прироста А% показывает,
сколько абсолютных единиц
содержится в 1% прироста

29.

Содержание одного процента
базисного прироста:
Δ
yt y 0
y0
А%
yt y 0
T
100
100
y0
б
t
б
t
б
прt
15
0,15
100

30.

Содержание одного процента
цепного прироста:
Δ
yt yt 1
yt 1
А%
yt yt 1
T
100
100
yt 1
ц
t
ц
t
ц
прt

31.

32.

Расчет среднего уровня
ряда динамики

33.

СРЕДНИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РЯДА
Средний уровень ряда динамики
рассчитывается по формулам
средней арифметической или
средней хронологической

34.

1.Если
ряд
динамики
является
интервальным, то расчет среднего
уровня ведется по формуле простой
средней арифметической:
Y
Y
i
n

35.

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ РЯДА
ДЛЯ ИНТЕРВАЛЬНЫХ РЯДОВ
С РАВНЫМИ ИНТЕРВАЛАМИ ВРЕМЕНИ
Простая средняя арифметическая
y
/
n
y
=
i
где n - количество периодов времени

36.

Пример. Имеются следующие данные о динамике
производства продукции предприятием за 20042008 гг., тыс. шт.
2004 г.
2005 г.
2006 г.
2007 г.
2008 г.
205
213
222
229
236
Определить
среднегодовое
продукции за 2004-2008 гг.
производство
205 213 222 229 236 1105
Y
221 тыс. шт.
5
5

37.

2. Если ряд динамики является моментным с
различными интервалами времени между датами, то
для расчета среднего уровня используется средняя
арифметическая взвешенная:
t
где i – продолжительность i-го интервала времени
(интервал времени между двумя соседними
значениями;
Yi - средний уровень ряда для i-го интервала
времени

38.

Пример. Известна списочная численность
персонала организации по состоянию на
следующие даты (человек) :
01.01
01.03
01.06
01.09
01.01
след.год
1200
1100
1250
1500
1350
Среднесписочная численность персонала за
год составляет:
1200 1100
1100 1250
1250 1500
1500 1350
2
3
3
4
2
2
2
2
у
12
31300
1304 чел.
24

39.

С неравными интервалами времени
Эта формула иногда дается как взвешенная
средняя хронологическая
y
=
y y t / 2 t
i
i 1
i
где ti – период времени между двумя
соседними значениями
i

40.

3.Если ряд динамики является моментным с
равноотстоящими уровнями, то используется
средняя хронологическая простая:
y1
yn
y 2 y3 ... y n-1
2 ,
y 2
n 1
где n-количество дат

41.

Пример. Известны товарные остатки
магазина на 1-е число каждого месяца
(тыс. руб.) :
01.01
01.02
01.03
01.04
180
140
160
200
Средний уровень товарных остатков за
первый квартал составил:
180
200
140 160
2 163 тыс. руб.
у 2
3

42.

Средний абсолютный прирост
определяется как простая средняя
арифметическая величина из
цепных абсолютных приростов и
показывает , на сколько в
среднем изменялся показатель в
течение изучаемого периода
времени

43.

Средний абсолютный прирост
показывает, на сколько в среднем изменялся
изучаемый показатель при переходе от
предыдущего периода времени к смежному
последующему периоду времени
ΣΔi Σ(Yi Yi 1 ) Yn Y 1
Δ
,
s
s
n 1
где
n – число уровней ряда динамики;
S = n - 1 – количество цепных приростов

44.

2 1,5 0,5 2
Δ
1,5
5 1
21 15
Δ
1,5
5 1

45.

Год
yi D ц Dб k Pц k Pб прц прб прц прб A% ц
i
i
i
2004
15
-
0
-
1
-
100
-
0
-
17
2
2
1,133
1,133
113,3
113,3
13,3
13,3
0,150
18,5
1,5
3,5
1,088
1,233
108,8
123,3
8,8
23,3
0,170
19
0,5
4
1,027
1,266
102,7
126,6
2,7
26,6
0,185
21
2
6
1,105
1,400
110,5
140,0
10,5
40,0
0,190
2005
2006
2007
2008

46.

Среднегодовой коэффициент
роста определяется как средняя
геометрическая из цепных
коэффициентов роста и
показывает , сколько в среднем
составлял рост показателя

47.

Если цепные коэффициенты роста
определялись для рядов с
равностоящими интервалами, то
применяется простая средняя
геометрическая величина

48.

Средний коэффициент
роста рассчитывается по формуле
средней геометрической из цепных
коэффициентов роста:
k
n 1
ц
ц
ц
ц
2
3
4
n
k k k ... k
k 5 1 1,133 1,088 1,027 1,105 1,088

49.

yn
21
k n 1
4
1,088
y1
15
y b 2008 2004 21
k b a
1,088
ya
15

50.

Год
yi D ц Dб k Pц k Pб прц прб Tпрц Tпрб A% ц
i
i
i
i
i
2004
15
-
0
-
1
-
100
-
0
-
17
2
2
1,133
1,133
113,3
113,3
13,3
13,3
0,150
18,5
1,5
3,5
1,088
1,233
108,8
123,3
8,8
23,3
0,170
19
0,5
4
1,027
1,266
102,7
126,6
2,7
26,6
0,185
21
2
6
1,105
1,400
110,5
140,0
10,5
40,0
0,190
2005
2006
2007
2008

51.

С неравными интервалами
времени
Взвешенная средняя геометрическая
t
k =
k k k
i
t1
*
1
t2
*
2
t1
1n
kn
*
...
*
3
где ki – коэффицент роста;
ti – период времени между двумя
соседними значениями

52.

Среднегодовой темп роста
определяется умножением
среднегодового коэффициента
роста на 100 и показывает ,
сколько процентов в среднем
составлял рост показателя

53.

СРЕДНИЙ ТЕМП ПРИРОСТА
Показывает, на сколько процентов
увеличивается (или уменьшается)
уровень по сравнению с предыдущем в
среднем за единицу времени:
Т пр Т р 100

54.

Т пр 108,8% 100% 8,8%

55.

Проблема сопоставимости
уровней рядов динамики
Смыкание рядов динамики

56.

Поскольку ряды динамики
формируются на протяжении
длительных периодов времени, их
уровни часто оказываются
несопоставимыми

57.

Причины
1. Изменение цен
2. Изменение методики расчета
показателей
3. Изменение «границ» (организационных, административных)

58.

Для обеспечения сопоставимости данных
часто применяется метод смыкания рядов
динамики. Для смыкания ряда динамики
необходимо иметь переходное звено.
(Переходное звено – это период времени,
для которого изучаемый показатель
рассчитан как по старой методике (в старых
границах), так и по новой методике (в новых
границах).
Для переходного звена рассчитывается
коэффициент, действие которого
распространяется на все предшествующие
периоды времени

59.

Добыча нефти млн.т.
2004
2005
2006
2007
2008
До слияния
6600
6700
6900
-
-
После слияния
-
-
7500
7800
7900

60.

7500
К
1,087
6900

61.

y 05 6700 1,087 7283
y04 6600 1,087 7174

62.

Добыча нефти млн.т.
2004
2005
2006
2007
2008
До слияния
6600
6700
6900
-
-
После слияния
-
-
7500
7800
7900
Сопоставимый ряд
7174
7283
7500
7800
7900

63.

Анализ основной тенденции
рядов динамики

64.

Уровни рядов динамики
формируются под воздействием
большого числа факторов. Их
можно разделить на 3 группы

65.

1. Определяющие факторы –
факторы, которые оказывают
постоянное и сильное воздействие на
изучаемый показатель. Они
определяют основную тенденцию
(тренд) ряда динамики

66.

67.

2. Сезонные факторы – факторы,
которые вызывают сезонные
колебания относительно основной
тенденции

68.

69.

3. Случайные факторы – факторы,
которые вызывают случайные
колебания уровней ряда (например,
погодный фактор)

70.

Метод укрупнения
интервалов

71.

Метод укрупнения
интервалов – замена исходных
уровней ряда средними
величинами, которые
рассчитываются для
укрупненных интервалов

72.

Месяц
yt
1
5.1
2
5.4
3
5.2
4
5.3
5
5.6
6
5.8
7
5.6
8
5.9
9
6.1
10
6.0
11
5.9
12
6.2
Квартальные
суммы
Среднемес.
величина по
кварталам
15.7
5.23
16.7
5.57
17.6
5.87
18.1
6.03

73.

Метод скользящей
средней

74.

Метод скользящей
средней– замена исходных
уровней ряда средними
величинами, которые
рассчитываются для
последовательно смещающихся
интервалов времени

75.

Год
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
yt
4,5
4,3
5,2
5,3
5,7
6
6
5,9
5,7
ЧетырехПятичленная скользящая членная
скользящ.
сумма
средняя
сумма
25
26,5
28,2
28,9
29,3
-
5
5,3
5,64
5,78
5,86
-
19,3
20,5
22,2
23
23,6
23,6
Центрированная
скользящая
сумма
средняя
-
-
-
-
19,9
21,35
22,6
23,3
23,6
4,98
5,34
5,65
5,83
5,9
-
-
-
-

76.

Аналитическое
выравнивание рядов
динамики

77.

Уровни ряда рассматриваются
как некоторая функция от
времени:
y t f(t)

78.

Процедура выравнивания в этом
случае сводится:
к выбору вида функции;
к определению параметров функции;
к получению выравненных значений
уровней ряда на
основе функции

79.

Рассмотрим данный метод на
примере линейного уравнения
(тренда):
Λ
y t a b t,
где a и b – параметры;
t – время

80.

Линейный тренд лучше всего
использовать в тех случаях, когда
предварительный анализ показывает,
что уровни ряда изменяются с
примерно одинаковой скоростью, т.е.
когда цепные абсолютные приросты
примерно равны между собой

81.

Параметры a и b определяются
при помощи метода наименьших
квадратов (МНК)

82.

Применение метода МНК дает
следующую систему уравнений для
определения параметров:
a t b t (y t t)
2
a n b t yt

83.

Данную систему уравнений
можно существенно упростить,
если пронумеровать время таким
образом, чтобы
t 0

84.

Если ряд содержит нечетное число
уровней, то центральный уровень
ряда нумеруется нулем. Уровни в
сторону убывания времени
нумеруются -1; -2; -3…, в сторону
возрастания времени 1; 2; 3…

85.

Если ряд содержит четное число
уровней, то ближайшие к центру
уровни ряда нумеруются: -1 и 1,
далее нумерация как для ряда с
нечетным числом уровней только с
шагом 2: …-5; -3; -1; +1; +3; +5…

86.

a n yt
y
a
t
n
(y t)
b t (y t) b
t
t
2
t
2

87.

Λ
Λ
Год
y t Δ t t y t t y (y t y t )
t
2004
800
-
-2
4
-1600 798,2
0,24
2005
857 57
-1
1
-857
857,7
0,49
2006
915 58
0
0
0
917,2
4,84
2007
976 61
1
1
976
976,7
0,49
2008 1038 62
2
4
2076 1036,2
3,24
Итого: 4586
0
10
595
12,3
ц
t
-
2
4586,0
2

88.

4586
a
917,2
5
595
b
59,5
10
Λ
y t 917,2 59,5 t

89.

ц
t
t t 2 yt t
Λ
Λ
y t (y t y t )
Год
yt Δ
2004
800
-
-2
4
-1600 798,2
0,24
2005
857 57
-1
1
-857
857,7
0,49
2006
915 58
0
0
0
917,2
4,84
2007
976 61
1
1
976
976,7
0,49
2008 1038 62
2
4
2076 1036,2
3,24
Итого: 4586
0
10
595
12,3
-
4586,0
2

90.

Выравнивание по параболе второго
порядка:
Λ
y a b t c t ,
2
где b – скорость изменения уровней
ряда динамики
c – ускорение

91.

Выравнивание по параболе второго
порядка производится, когда
предварительный анализ показывает, что
вторые разности примерно равны между
собой
(1)
Δ t y t y t 1 - первая разность;
Δ
(2)
t
Δ Δ
(1)
t
(1)
t 1
- вторая разность

92.

yt
110
117
126
137
150
115
182
Δ
(1)
t
7
9
11
13
15
17
Δ
2
2
2
2
2
(2)
t

93.

Для определения параметров
применяется метод наименьших
квадратов:
a n b t c t yt
2
a t b t c t (y t t)
2
3
a t b t c t (y t t )
2
3
4
2

94.

Выравнивание по гиперболе
применяется в тех случаях, когда в
развитии ряда динамики происходит
насыщение
Λ
b
y a
t

95.

96.

Для определения параметров
используется МНК:
1
a n b yt
t
yt
1
1
a b 2
t
t
t

97.

Выравнивание ряда динамики при помощи
показательных функций или экспоненты
применяется, когда предварительный анализ
показывает: уровень ряда динамики меняется с
приблизительно одинаковыми цепными
коэффициентами роста. При этом коэффициент
b интерпретируется как средний коэффициент
роста
Λ
yt a b
t