Линейные функционалы. Тема 7

1.

ТЕМА 7. ЛИНЕЙНЫЕ
ФУНКЦИОНАЛЫ

2.

Понятие функционала возникло в вариационном исчислении и означало
переменную величину, зависящую от одной или несколько функций (отсюда и
название). В дальнейшем, с развитием функционального анализа, термин
«функционал» стал использоваться в более широком смысле. Коротко можно
сказать, что вариационное исчисление – раздел анализа, в котором изучаются
вариации функционалов. Наиболее типичная задача – найти функцию, на
которой заданный функционал достигает экстремального значения.
Методы вариационного исчисления широко применяются в различных
областях математики и физики. Например, в дифференциальной геометрии
с их помощью ищут геодезические линии и минимальные поверхности. В
физике вариационный метод – одно из мощнейших орудий получения
уравнений движения (к примеру, принцип наименьшего действия), как для
дискретных, так и для распределенных систем, в том числе и для физических
полей. Методы вариационного исчисления применимы и в статике, и в
механике.
Кроме того, вариационные методы активно применяются в теории
оптимального управления, в том числе в задачах динамического
программирования, в дифференциальных играх (многие задачи системного
анализа и управления, экономики и техники формализуются в виде
дифференциальных игр).

3.

7.1. Понятие линейного функционала
Функционал – отображение f произвольного множества Х в
множество R действительных или C комплексных чисел.
Если Х наделено структурой векторного (линейного)
пространства, топологического векторного пространства и
упорядоченного множества, то возникают соответственно
важные классы линейных, непрерывных и монотонных
функционалов.
Числовая функция f (вещественная или комплексная),
определенная на линейном пространстве Х (над полем
вещественных, или комплексных чисел) называется линейным
функционалом, если:

4.

Таким образом, функционал – это функция, областью
определения которой служит, как правило, некое множество или
пространство функций, а значения лежат в множестве
вещественных, либо комплексных чисел.
Аналогами функционалов в классическом математическом
анализе являются дифференциал и производная по направлению.
Пусть f – некоторый, отличный от тождественного нуля
линейный функционал на линейном пространстве Х. Совокупность
тех элементов x ϵ X , которые удовлетворяют условию f (x)= 0,
представляет собой подпространство пространства Х –
подпространство нулей (нуль-пространство) или ядро функционала f.
Это подпространство обозначается Ker f(от англ. слова kernel –
ядро).Множества вида
называют гиперплоскостями.
Гиперплоскость – это пример гиперповерхности – обобщения
понятия обычной поверхности трехмерного пространства на случай
n-мерного пространства.

5.

Гиперплоскости, очевидно, получаются сдвигом ядер (нульпространств). Таким образом, всякий ненулевой линейный
функционал определяет гиперплоскость Ker f в конечномерном
пространстве. Ядро ненулевого линейного функционала на
бесконечномерном пространстве также можно трактовать как
гиперплоскость (в этом состоит геометрический смысл
функционала).
Далее мы будем предполагать, что пространство Х –
линейное нормированное.

6.

7.2. Непрерывность и ограниченность функционала
Функционал f называется непрерывным в точке