Линейные операторы. Тема 8

1.

ТЕМА 8. ЛИНЕЙНЫЕ
ОПЕРАТОРЫ

2.

Теория линейных операторов принадлежит к числу
традиционных направлений функционального анализа. Именно
через теорию линейных операторов функциональный анализ
сомкнулся с квантовой механикой, дифференциальными и
интегральными уравнениями, теорией вероятностей и целым
рядом других прикладных дисциплин.
Линейные операторы естественно возникают также в
геометрии, физике, экономике, задачах управления и других
приложениях

3.

8.1.
Основы
теории
линейных
операторов
Оператор (позднелат. «operator» – работник, исполнитель, от
«operor» – работаю, действую) – то же, что отображение,
преобразование.
Определение оператора отличается от определения функционала
отсутствием требования, чтобы его множество значений состояло из
действительных чисел. Множество значений (как и область определения)
в определении оператора есть множество элементов любой природы.
Если X и Y – векторные пространства, то в множестве всех
операторов из X в Y можно выделить класс линейных операторов;
остальные операторы называются нелинейными.
Линейные операторы являются наиболее доступными для изучения
среди операторов, действующих в линейных нормированных
пространствах. Они представляют собой важнейший класс операторов,
поскольку среди них можно найти многие операторы, известные из курса
алгебры и математического анализа (матричные операторы, операторы
дифференцирования и интегрирования и др.).

4.

Пусть X и Y – линейные нормированные пространства, оба
вещественные или оба комплексные.
Отображение A :X→ Y называется линейным оператором, если
для него выполнены свойства линейности:
свойство аддитивности;
свойство однородности
Замечание. В определении не предполагается, что область
определения оператора А, т.е. множество тех значений x ϵX ,
которым ставится в соответствие элемент .
совпадает со всем пространством X.
Точно также не предполагается, что множество всех значений
оператора А совпадает со всем пространством Y.
Область определения оператора А будем обозначать D( A),а
множество значений – R(А) .

5.

Множество значений оператора R (A) при некотором x D(A)
называется также образом оператора.
В линейной алгебре изучаются линейные операторы в
конечномерных линейных пространствах, т.е.
Такие линейные операторы представляются в виде
умножения на матрицу и поэтому, по аналогии с умножением
матриц, скобки у аргумента линейного оператора принято не
писать, т.е. вместо A (x) пишут Ax.
Сумма A+ B линейных операторов А и В и произведение kA
линейного оператора А на число k определяются обычным
образом:
и являются, очевидно, линейными операторами.
Замечание. Для любого линейного оператора

6.

Множество тех x ϵD( A) , для которых Ax = 0 называется
ядром линейного оператора А и обозначается Ker A.
Пример 1. Являются ли линейными следующие операторы в
трехмерном пространстве:
Решение. Здесь мы имеем дело с координатными
представлениями операторов, но записанных в одну строчку.
Данные операторы А и В не являются линейными, ибо
координаты векторов Ax и Bx не представляют собой линейные
комбинации координат