Радианная мера углов и дуг

1.

Алгебра и начала анализа
10 класс
Радианная мера
углов и дуг

2.

Радианом называется величина центрального
угла, который опирается на дугу окружности
длиной в один радиус (обозначается 1 рад).
AB=R
AOB=1 рад
600
A
R
R
1 рад
O
R
B

3.

Из скольких дуг, длиной R, состоит окружность?
Подсказка: вспомните формулу длины окружности…
R
R
R
?
R
R
R

4.

3600 – 2 рад
10
3600 – 2 рад
– х рад
х0
– 1 рад
Задание 1. Вывести правила перевода из радианной меры в
градусную и наоборот.
Ответ: α0= α0·
0
рад
180
180
α рад= α·
1800
1 рад = ;
10 =
рад;
180
0
правило перевода из
градусной меры в радианную;
правило перевода из
радианной меры в градусную.
1 рад 57019’
10 0,017 рад

5.

Окружность с центром в начале системы координат Oxy
и радиусом, равным единице, называется единичной, а
ограниченный ей круг – тригонометрическим.
Приняв точку пересечения
окружности с
положительной частью оси
Ох за начало отсчета;
Выбрав положительное
направление – против
часовой стрелки,
отрицательное – по
часовой стрелке;
Отложив от начала
отсчета дугу в 1 рад, мы
получим, что
тригонометрическая
окружность в некотором
смысле «эквивалентна»
понятию «числовая
прямая».
y
1
1 «+»
0
0
1
« »
x

6.

Проследите за одновременным движением точки на координатной
прямой и на тригонометрической окружности:
2
у
1
–
0 х
2
0
–
2
2
1
3
2
6
2
Обязательно разберитесь, почему на прямой семь точек, а на окружности
их пять.

7.

Так как дуги – это части окружности, то длины
некоторых из них будут выражены через число
(объясните почему). 3,14159... 3,14
Откладывая в положительном и
отрицательном направлениях
от начала отсчета прямой угол
получим точки,
соответствующие числам …
и (объясните
2 почему);
2
Выполнив поворот на
развернутый угол в
положительном и
отрицательном направлениях
получаем две совпадающие
точки окружности с
координатами…
и .
y 2
1
1
0
0
2
1
x

8.

Напомним, что декартова система разбивается
координатными осями на четыре координатные
четверти – I, II, III и IV.
Задание 2. Определите
границы координатных
четвертей через углы
поворота в радианной мере,
взятых в положительном
направлении.
Задание 3. Выполните
предыдущее задание, при
условии, что выбирается
отрицательное направление
углов поворота.
Задание 4. Какой
координатной четверти
принадлежит точка
окружности с координатой
6,28?
y
1
II
1
I
0
0
III
1
IV
x

9.

cos 600
1
2 это соотношение может Вам
понадобиться для понимания некоторых фактов!
Отметив на окружности точки
с абсциссой 0,5 мы получим
точки, соответствующие
числам …
и (объясните
3
3
почему);
Аналогично, получаются
точки окружности с
координатами
2
3
0,5
y
1
3
1
0
0
0,5
1
2
2
;
3
3 .
Обратите внимание на
симметричность
относительно оси Ox
полученных точек!
2
3
3
x

10.

sin 300
1
2 это соотношение может Вам
понадобиться для понимания некоторых фактов!
Отметив на окружности точки
с ординатой 0,5 мы получим
точки, соответствующие
числам …
и 5 (объясните
почему);
6
6
Аналогично, получаются
точки окружности с
координатами
5
; .
6
6
Обратите внимание на
симметричность
относительно оси Oy
полученных точек!
y
5
6
1
1
0,5
6
0
0
5
6
0,5
x
1
6

11.

Графики функций y=x и y= x прямые,
являющиеся биссектрисами координатных
четвертей.
Постройте графики
функций y=x и y= x.
Подумайте, какие углы
поворота соответствуют
точкам пересечения
этих прямых с
тригонометрической
окружностью?...
…Ответ:
3
3
; ;
;
.
y
4
4
4
4
3
4
1
1
4
y x
y x
0
1
0
3
4
4
x

12.

Отметим на тригонометрической окружности точку
А, соответствующую произвольному острому
положительному углу поворота .
Если добавить
полный поворот к
углу α , то мы снова
окажемся в той же
точке А. Но теперь ее
координата равна
(подумайте)… 2 .
Вообще, любую точку
окружности можно
получить поворотом
на угол, вида α+2 n,
где n и α [0;2 ).
y
1
A(α+2 )
A(α)
0
0
1 x

13.

Итогом нашей предыдущей работы является данная
окружность, на которой отмечены наиболее часто
встречающиеся в различных таблицах углы.
Примечание. На чертеже
отмечены только
положительные углы
поворота.
Задание 5. Найдите
координаты всех точек,
отмеченных на данной
окружности (указание:
рассмотрите различные
прямоугольные треугольники
с гипотенузой-радиусом
(см.рис.) и примените
теорему Пифагора ; помните
о симметричности точек).
5
6
3
4
2
3
y
2
3
1
1
4
6
0,5
0
-0,5
7
6
0
0,5
1
-0,5
5
4
4
3
3
2
5
3
7
4
x
11
6

14.

Ответы и решения.
Задание 2. 0 2 - I четверть,
3
2
2
- III четверть, 32 2 - IV четверть.
Задание 3. 2 32 - I четверть,
2
- II четверть,
3
2
- II четверть,
- III четверть, 2 0 - IV четверть

15.

Ответы и решения.
Задание 4. 6,28 IV
(см.рис.)
6,28<2 (обязательно
разберитесь в
совпадении цвета
цифр и некоторых
частей окружности)!
2
y
1
1
3
0x
1 2
6
0
4
5

16.

Ответы и решения.
Задание 5.
0 0
3
6 2
2 2
4 2
1 3
3 2 2
1
2
2 1 3
3 2
3 2 2
4 2
5
3
6 2
0
7 3
6 2
5 2
2
4 2
4 1 3
3 2
3
1
2
5 1
3
3 2
7 2
2
4 2
11 3
6 2