Радианная мера углов и дуг. Алгебра и начала анализа. 10 класс. Тригонометрия

1. Алгебра и начала анализа 10 класс Тригонометрия

Тема: Радианная
мера углов и дуг

2. Тригонометрия

(«три» - три, «гониа» - угол, «метриа» - измеряю)
раздел математики, изучающий соотношение
сторон и углов в треугольнике

3. Радианом называется величина центрального угла, который опирается на дугу окружности длиной в один радиус (обозначается 1 рад).

AB=R
AOB=1 рад
60
1 0рад
A
R
R
1 рад
O
R
B

4.

Из скольких дуг, длиной R, состоит окружность?
Подсказка: вспомните формулу длины окружности…
R
R
R
?
R
R
R

5.

3600 – 2 рад
10
3600 – 2 рад
– х рад
х0
– 1 рад
Задание 1. Вывести правила перевода из радианной меры в
градусную и наоборот.
Ответ: α0= α0·
0
рад
180
180
α рад= α·
1800
1 рад = ;
10 =
рад;
180
0
правило перевода из
градусной меры в радианную;
правило перевода из
радианной меры в градусную.
1 рад 57019’
10 0,017 рад

6. Окружность с центром в начале системы координат Oxy и радиусом, равным единице, называется единичной, а ограниченный ей круг –

тригонометрическим.
Приняв точку пересечения
окружности с
положительной частью оси
Ох за начало отсчета;
Выбрав положительное
направление – против
часовой стрелки,
отрицательное – по часовой
стрелке;
Отложив от начала отсчета
дугу в 1 рад, мы получим, что
тригонометрическая
окружность в некотором
смысле «эквивалентна»
понятию «числовая прямая».
y
1
1 «+»
0
0
1
« »
x

7.

Проследите за одновременным движением точки на координатной
прямой и на тригонометрической окружности:
2
у
1
–
0 х
2
0
–
2
2
1
3
2
6
2
Обязательно разберитесь, почему на прямой семь точек, а на окружности
их пять.

8. Так как дуги – это части окружности, то длины некоторых из них будут выражены через число  (объясните почему).

Так как дуги – это части окружности, то длины некоторых из
них будут выражены через число (объясните почему).
Откладывая в положительном и
отрицательном направлениях от
начала отсчета прямой угол
получим точки, соответствующие
числам …
и (объясните
2
2 почему);
Выполнив поворот на
развернутый угол в
положительном и отрицательном
направлениях получаем две
совпадающие точки окружности с
координатами…
и .
y 2
1
1
2
0
0
3,14159... 3,14
1
x

9. Напомним, что декартова система разбивается координатными осями на четыре координатные четверти – I, II, III и IV.

Задание 2. Определите границы
координатных четвертей через
углы поворота в радианной
мере, взятых в положительном
направлении.
Задание 3. Выполните
предыдущее задание, при
условии, что выбирается
отрицательное направление
углов поворота.
Задание 4. Какой координатной
четверти принадлежит точка
окружности с координатой 6,28?
y
1
II
1
I
0
0
III
1
IV
x

10.  это соотношение может Вам понадобиться для понимания некоторых фактов!

1
cos
600 соотношение может Вам
это
2
понадобиться
для понимания некоторых фактов!
Отметив на окружности точки с
абсциссой 0,5 мы получим
точки, соответствующие
числам …
и (объясните
3 почему);
3
Аналогично, получаются точки
окружности с координатами
2
3 ;
2
3.
y
2
3
0,5
Обратите внимание на
симметричность относительно
оси Ox полученных точек!
2
3
1
3
1
3
0
0
0,5
1
x

11.  это соотношение может Вам понадобиться для понимания некоторых фактов!

0 1
sin
соотношение может Вам
30
это
2
понадобиться
для понимания некоторых фактов!
Отметив на окружности точки с
ординатой 0,5 мы получим
точки, соответствующие
числам …
и 5 (объясните
6
6 почему);
Аналогично, получаются точки
окружности с координатами
5
6.
6;
Обратите внимание на
симметричность относительно
оси Oy полученных точек!
y
5
6
1
1
0,5
6
0
0
5
6
0,5
x
1
6

12. Графики функций y=x и y=x  прямые, являющиеся биссектрисами координатных четвертей.

Графики функций y=x и y= x прямые, являющиеся
биссектрисами координатных четвертей.
Постройте графики
функций y=x и y= x.
Подумайте, какие углы
поворота соответствуют
точкам пересечения этих
прямых с
тригонометрической
окружностью?...
…Ответ:
3
3
; ;
;
.
4
4
4
4
y
3
4
1
1
4
y x
y x
0
1
0
3
4
4
x

13. Отметим на тригонометрической окружности точку А, соответствующую произвольному острому положительному углу поворота .

Если добавить полный
поворот к углу α , то
мы снова окажемся в
той же точке А. Но
теперь ее координата
равна (подумайте)…
.
2
Вообще, любую точку
окружности можно
получить поворотом на
угол, вида α+2 n, где
n и α [0;2 ).
y
1
A(α)
A(α+2 )
0
0
1 x

14. Итогом нашей предыдущей работы является данная окружность, на которой отмечены наиболее часто встречающиеся в различных

таблицах углы.
Примечание. На чертеже
отмечены только
положительные углы поворота.
Задание 5. Найдите координаты
всех точек, отмеченных на
данной окружности (указание:
рассмотрите различные
прямоугольные треугольники с
гипотенузой-радиусом (см.рис.)
и примените теорему Пифагора
; помните о симметричности
точек).
5
6
3
4
2
3
y
2
3
1
1
4
6
0,5
0
-0,5
7
6
0
0,5
1
-0,5
5
4
4
3
3
2
5
3
7
4
x
11
6

15. Ответы и решения.

0
2
- I четверть,
2
3
2
- III четверть,
3
2
2
Задание 2.
Задание 3.
3
2
2
- I четверть,
2
- III четверть,
- II четверть,
- IV четверть.
3
2
0
2
- II четверть,
- IV четверть

16. Ответы и решения.

Задание 4. 6,28 IV
(см.рис.)
6,28<2 (обязательно
разберитесь в
совпадении цвета цифр
и некоторых частей
окружности)!
2
y
1
1
3
0x
1 2
6
0
4
5

17. Ответы и решения.

Задание 5.
0 0
3
6 2
2 2
4 2
1 3
3 2 2
1
2
2 1 3
3 2
3 2 2
4 2
5
3
6 2
0
7 3
6 2
5
2
2
4 2
4 1
3
3 2
3
1
2
5 1
3
3 2
7 2
2
4 2
11 3
6 2

18. Домашнее задание

1) Выучить формулы перевода из
градусной меры угла в радианную и
обратно
2) Переведите в радианную
меру углы: 75 , 15 , 130 , 220 ,
340