Движение тел с переменной массой

1. Движение тел с переменной массой

Импульс системы:
P MVС
Полный импульс системы частиц равен произведению
полной массы системы М на скорость её центра масс VС .
Рассмотрим движение тел с переменной массой на примере
движения ракеты, которая движется вперед за счет
выбрасывания назад сгоревших газов.
Ракета ускоряется силой, действующей на нее со стороны газов.
Масса М ракеты все время уменьшается, т.е.
dM / dt 0
U
v

2.

Реактивное движение основано на принципе отдачи. В
ракете при сгорании топлива газы, нагретые до высокой
температуры, выбрасываются из сопла с большой скоростью
относительно ракеты u
Пусть M(t), υ(t), Mυ(t) – масса, скорость и импульс ракеты в
момент времени t.
Спустя время dt масса ракеты уменьшится на dM, скорость
увеличится на dυ, а изменение импульс системы станет равным
M dM d udm Г M Fdt ,
где udmГ – импульс газов, образовавшихся за время dt.

3.

Воспользуемся законом сохранения массы:
dmГ dM
Получим:
d dM
M
u
F
dt
dt
dM
, добавляемая к силе F
Величина u
dt
– реактивная сила, т.е. сила, с которой действуют на ракету
вытекающие из нее газы.
Уравнение
d dM
M
u
F
dt
dt
впервые получено русским механиком Мещерским И.В. и носит
название уравнение Мещерского.

4.

При отсутствии внешних сил, действующих на
ракету, уравнение приобретает вид:
d dM
M
u
dt
dt
Решение этого уравнения дает конечную скорость
ракеты:
M0
u ln
,
M

5.

М0 и М – начальная и конечная массы ракеты.
Соотношение
M0
р u ln
M
называют формулой Циолковского.
Из нее следует, что для достижения скорости υ, в 4
раза превышающей по модулю относительную скорость
выбрасываемых газов, стартовая масса одноступенчатой
ракеты должна, примерно в 50 раз, превышать ее
конечную массу.

6.

7.

Из словаря В.Даля:
Работа - труд, занятие, дело, упражнение, т.е. всякое
полезное действие человека или устройства. Все, что
требует усилий, старанья, напряжения телесных или
умственных сил.

8.

Что такое механическая работа?
В физике этот термин имеет более узкое значение. Им обозначается
физическая величина, связанная с действием сил.
Термин «механическая работа» был
введен в физику в 1826 г. французским
ученым Ж. Понселе: «Механическая
работа — это постоянное преодоление
сопротивлений силой, действующей
вдоль пути»
Жан Виктор Понселе
01.07.1788 г. 22.12.1867г.

9. Джеймс Прескотт Джоуль (24 декабря 1818— 11 октября 1889)

Джоуль изучал природу тепла и
обнаружил её связь с
механической работой. Это
привело к теории сохранения
энергии.
В честь Джоуля названа единица
измерения механической
работы и энергии — джоуль.

10.

Механическая работа
Механическая работа – скалярная физическая величина,
характеризующая движение тела под действием силы и равная
скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.
Элементарная работа:
dA F dr ,
А 1Н м 1 Дж
Знак работы:
π
0 α , dA 0
2
, dA 0
dA Fdr cos FS ds
dA Fx dx Fy dy Fz dz
dA F dt dp mvdv
2
π
α , dA 0
2
Работа при перемещении 1-2 :
2
2
2
1
1
1
A dA FS ds FS υdt
Работа численно равна площади под графиком
проекции силы на направление перемещения:
На основе III закона Ньютона работа
силы и работа против силы противоположны по
знаку:
F F
dA dA
1, 2
2 ,1
1
2

11.

1) Работа силы упругости F упр
x2
x
kx
x2
kx12 kx 22
A Fx dx kxdx
2
2
x1
x1
Fтяж у mg
2) Работа силы тяжести
h2
h2
h2
h1
h1
h2
A dΑ mgdh mg dh mg ( h1 h2 )
3) Работа силы тяготения
r2
r2
r1
r1
A dΑ G
m1 m 2
1 1
dr
Gm
m
(
)
1 2
r2
r2 r1
4) Работа силы трения
dAтр FтрdS FтрdS cos FтрdS
dAтр Fтр dt m d
2
2
Атр Fтр S
m 22 m 12
A dΑ m d
0
2
2
1
1
5) Работа при вращательном движении
АТТ
2
dA Md M dt
A M dt
1

12. Мощность

Мощность - скалярная физическая величина,
характеризующая быстроту совершения работы и равная
работе, совершаемой за единицу времени.
Средняя мощность определяется отношением работы ко времени, за
которое она была совершена:
N cp
A
F Vср ,
t
N 1 Дж 1Вт
1с
Мгновенная мощность равна производной от величины работы по времени:
dA d ( F r ) F dr
N
F V F V cos α ,
dt
dt
dt
F const
При известной мощности работа определяется выражениями:
A N ср t , dA N dt ,
A Ndt
s

13. Энергия

Энергия – скалярная физическая величина, являющаяся единой мерой различных
форм движения материи и характеризующая их способность к взаимному
превращению.
Энергия – конечная, однозначная, непрерывная, аддитивная
функция параметров состояния системы.
Формам движения материи соответствуют виды энергии:
Механическая
Внутренняя (тепловая)
Электромагнитная
Ядерная….
Закон сохранения энергии: в замкнутой системе тел энергия может
переходить от одних тел к другим, превращаться из одних видов в другие,
но её суммарное значение остаётся неизменным.

14. Механическая энергия

Механическая энергия – скалярная физическая величина,
мера механического движения тела, изменение которой
определяется работой действующих на тело сил.
Механическая энергия (W) - функция параметров
механического состояния: r ,V или r , p
W f ( r ,V ) f ( r , р )
W f ( x , y , z , p x , p y , pz )
Различают: кинетическую, обусловленную движением, и
потенциальную, связанную с взаимодействием,
составляющие механической энергии.
W Wкин Wпот

15. Кинетическая энергия

Кинетическая энергия, Wкин (V),- часть механической энергии,
обусловленная движением тела и зависящая от его
скорости (импульса).
Особенности кинетической энергии:
положительность, аддитивность, относительность.
Теорема об изменении кинетической энергии:
Изменение кинетической энергии тела равно работе
равнодействующей всех сил, приложенных к телу.
2
dv
m 22 m 12
Aр всех сил F p dr m v dt m d
Wкин 2 Wкин 1 Wкин
dt
2
2
1
Поступательное движение
m 2
p2
Wкин
2
2m
Вращательное движение
J 2
L2
Wкин
2
2J

16. Потенциальная энергия

Потенциальная энергия, Wпот (r), – часть механической
энергии, обусловленная взаимодействием тел или их частей
и зависящая от положения тела в пространстве.
Особенности потенциальной энергии:
-может быть как положительна, так и отрицательна,
-её численное значение зависит от выбора нулевого уровня,
- расчётная формула определяется характером
взаимодействия.

17. Потенциальная энергия тела

1.Потенциальная энергия при действии силы упругости
kx12 kx22
Aупр
Wпот1 Wпот 2 Wпот
2
2
kx 2
Wпот
, W 0 при х 0
2

18.

2. Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести
Aтяж mgh1 mgh2 W пот1 Wпот 2 ΔWпот
Wпот mgh,
Wпот 0 при h 0

19.

3.Потенциальная энергия тела в поле гравитации (силы
тяготения)
Mm
Mm
Aтяг G
G
Wпот 1 Wпот 2 Wпот
r2
r1
Wпот G
Mm
, Wпот 0
r
при r

20. Изменение потенциальной энергии

Потенциальную энергию тела обуславливает потенциальное поле сил, зависящих
от положения в нём тела : гравитационное поле, электростатическое поле, поле
упругих сил, поле сил тяжести…
С потенциальным
полем связаны консервативные силы, зависящие от положения
тел, F( x , y , z ) F( r ) , работа которых не зависит от формы траектории, а определяется
лишь начальным и конечным положением тела в потенциальном поле.
Работа консервативной силы при перемещения тела по замкнутой траектории
равна нулю.
A12
конс
2
2
2
1a
1b
1c
dAконс dAконс dAконс
Aконс dAконс 0
1 2 1
Консервативные силы: тяжести, тяготения, упругости, электростатические силы...
Работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии.
r2
dAконс dWпот
Aконс Fdr Wпот(r 1 ) Wпот(r 2 ) Wпот 1 Wпот 2 Wпот
r1

21. Связь консервативной силы с потенциальной энергией

Выразим работу потенциальной силы через убыль потенциальной энергии:
dA Fx dx Fy dy Fz dz dWпот
Полный дифференциал функции трёх переменных dWx,y,z :
dWпот
( x , y ,z )
Wпот
W пот
Wпот
dx
dy
dz
x
y
z
Видим, что проекции вектора силы на координатные оси равны соответствующим
частным производным от потенциальной энергии тела с противоположным знаком:
dWпот
Wпот
Wпот
Fz
Fy
dz
x
y
Wпот Wпот Wпот
F (
i
j
k)
F Wпот
x
y
z
Fx
Вектор силы
i
j
k
x
y
z
оператор
градиента
Градиент функции– вектор, характеризующий быстроту изменения функции в
пространстве. Он направлен в сторону наиболее быстрого возрастания функции.
Действующая на тело в потенциальном поле сила равна по модулю и
противоположна по направлению градиенту потенциальной энергии тела.

22. Закон сохранения энергии в механике

Изменение механической энергии системы тел определяется работой
внутренних и внешних сил (консервативных, неконсервативных).
W Wкин Wпот
dWпот dAконс
d (Wкин Wпот ) dAнеконс dAвнеш
dWкин dAр dАконс dAнеконс dAвнеш
dW dAнеконс dAвнеш
Изменение полной механической энергии системы равно алгебраической
сумме работ всех неконсервативных и внешних сил, действующих на тела
системы.
Закон сохранения энергии в механике: полная механическая
энергия замкнутой консервативной системы тел есть
величина постоянная.
dAнеконс 0; dAвнеш 0
dW 0
W const
Wкин Wпот const

23. Закон сохранения механической энергии

Пример 1. Свободное падение- движение под действием силы тяжести при отсутствии
сил сопротивления
mυ 2
mgh
const
2
mv 32
m υ22
mgh1 mgh2
2
2
Пример 2. Абсолютно упругий удар- удар, при котором сохраняется механическая
энергия системы:
Закон сохранения энергии
2
2
mυ01
mυ02
mυ12
mυ22
2
2
2
2
Закон сохранения импульса
mυ01 mυ02 mυ1 mυ2

24. Закон сохранения механической энергии

W Wкин Wпот
Wкин 0
W Wпот
Потенциальная яма:
условием W > U0 движение ограничено
областью (а) потенциального поля.
Частица с энергией ε < U0 может
находиться только в области 0 < x < a.
Потенциальный барьер:
В области В-С при полной энергии частицы W= Е1 величина потенциальной
энергии U больше полной энергии (U > Е1), частица с такой энергией не может
преодолеть потенциальный барьер, её движение ограничено областью А-В.
Любая механическая система стремится к состоянию с
минимальной энергией.

25. Устойчивость равновесия

Состояние равновесия соответствует минимуму потенциальной энергии.
Равновесие устойчиво, если любое малое отклонение тела приводит к увеличению
его потенциальной энергии. При этом возникают силы, возвращающие тело в
исходное положение.
е
Устойчивое
Устойчивое
Неустойчивое
Неустойчивое
Неустойчивое