Логарифми та їх властивості

1.

Презентація відкритого заняття з
дисципліни “Математика”
на тему: «Логарифми та їх властивості»

2.

3х
23
4 х8 210 ;
Перевірка домашнього завдання 237( x ) 12 1;; ; 2 ,
3х x
x
2x
10
8 73
Поясніть правильну відповідь наступних завдань: 23 x 29x 210 ,
3x x 7 21 ;3 1
4x
7
( 5 x
)
х3
81
3 2,(;10), ;
2
8 4 8
110
хxxx
81,
5
x 21,, ,
хxВідповідь
23,, х:2 13..
1
Відповідь:: 21.
Відповідь
Відповідь
: 3.: 2.
Відповідь

3.

Розв’яжіть рівняння
х
2 =7
• Який вид має рівняння?
• Чи можна його розв’язати за загальною
схемою? Чому?
• Чи має рівняння корені? Як це
аргументувати?
• Яким наближеним способом можна
розв’язати це рівняння?

4.

Отримуємо, що розв’язком рівняння
у=7
2 7
х
х 2,8
2,8

5.

Тема нашого заняття
«Логарифм та його властивості»
Логарифми
важливі
як зручний
засіб при
Таким
чином,
необхідно
вивчити
дію,
дослідженні
функцій і
яка дозволяєпоказникових
за поданим значенням
розв'язуванні
пов'язаних
з
ними
задач.
степеня додатного числа, що не
дорівнює
1,
знаходити
показник
цього
На цьому занятті ми познайомимось з
степеня.
поняттям логарифма,
його властивостями,
основною логарифмічною тотожністю,
будемо вчитися виконувати дії з
логарифмами.

6.

Слайд з творчого проекту на тему «Практичне застосування
логарифмічної та показникової функцій в різних галузях
природознавства і математики»

7.

Логарифмом числа b > 0 з
основою а, де а > 0, а 1,
називається таке число с, що
с
а = b.
Іншими словами, логарифм числа b за основою а — це
показник, до якого треба піднести а, щоб дістати b.
Символічно записують с = logа b.
Таким чином, розв’язком рівняння 2х 7
є число
х = log27
Можна сказати, що формули ас = b та с = logа b є
рівносильними, оскільки подають одну й ту саму
залежність між числами а, b і с.

8.

logа b = с, оскільки ас = b
Приклад.
1
Знайти: 1) log232; 2) log3 ; 3) log4 2; 4) log10l.
3
1) log232 = 5, оскільки 25 = 32;
1
1
1
2) log 3 1, оскільки 3 ;
3
3
1
1
3) log 4 2 , оскільки 4 2 4 2;
2
4) log10 1 0, оскільки 10 1.
0

9.

Десятковий логарифм – це логарифм за основою 10.
Позначення
log 10 b lg b.
Наприклад, lg1000 = 3, оскільки 103 = 1000.
Натуральний логарифм – це логарифм за основою е
(е – ірраціональне число,
)
е 2,72
log e b ln b.

10.

Основна логарифмічна тотожність
Оскільки логарифм числа b з основою а є розв'язком
рівняння ах = b , то маємо рівність
a
log a b
b
Приклад
1) 5
10,
log 5
2) 6
5;
log 5 10
6
3) 2
log 2 11
(2
1
) 11 .
11
log 2 11 1
1

11.

Властивості логарифмів
1) При довільному a > 0, а 1,
log a a 1, log a 1 0.
Ці рівності випливають із співвідношень: а1 = а, а0 = 1.
Наприклад, 1) log91 = 0, оскільки 90 = 1;
2) log5x = 0,
х = 50 ,
х = 1.
3) log99 = 1, оскільки 91 = 9.

12.

Властивості логарифмів
2) Логарифм добутку двох або кількох чисел
дорівнює сумі логарифмів співмножників:
log a bc log a b log a c,
Нехай b, с – додатні числа.
За основною логарифмічною тотожністю маємо
b a
log a b
,
с a
log a с
Перемноживши ці рівності, дістанемо
b с a
loga b
a
loga с
a
з іншого боку
loga b loga с
a
a
log a bc log a b log a c,
b с a
loga bс
log а bс
log a b log a c
що і треба було довести.

13.

Властивості логарифмів
log a bc log a b log a c,
Наприклад,
1) ln15 = ln(3 5) = ln3 + ln5;
2) lg20 + lg5 = lg(20 5) = lg100 = 2.

14.

Властивості логарифмів
3) Логарифм частки дорівнює різниці
логарифмів чисельника і знаменника:
b
log a log a b log a c.
c
a
b
log a
c
b а
log b log с
log с a
c a
log a b
a
a
a
a
log a b log a c
a
b
log а
c
b
log a log a b log a c,
що і треба було довести.
c

15.

Властивості логарифмів
b
log a log a b log a c.
c
Наприклад,
3
1) log3 log3 3 log3 5 1 log3 5;
5
8
8
2) log3 8 log3
log3 (8 : ) log3 27 3.
27
27

16.

Властивості логарифмів
4) Логарифм степеня дорівнює добутку
показника степеня на логарифм основи:
log a b k log a b.
k
b (a
k
a
log а b k
) a
log a b k
k log a b
a
a
k
log a b k log a b.
log а b k
k log a b
що і треба було довести.

17.

Властивості логарифмів
log a b k log a b.
k
Наприклад,
1) log3 81 log3 3 4 log3 3 4 1 4;
2
2
5
5
2) ln 49 ln 7 ln 7.
5
4

18.

Властивості логарифмів
Для довільних додатних a, b, c, a 1 і с 1
справджується формула:
log c b
log a b
.
log c a
(формула переходу до іншої основи)
log a b log c a log c a log a b log c b
log a b
log c а
log c a
log c a
Наслідок.
Для довільних додатних a, b, a 1 і b 1
1
справджується формула: log a b
log b a

19.

Как не правы те друзья,
что утверждают смело:
логарифмы – ерунда,
не нужны для дела.
Логарифмы – это всё:
музыка и звуки,
и без них никак нельзя
обойтись в науке.
Фізика - інтенсивність звуку (децибели).
Астрономія – шкала яскравості зірок.
Хімія – активність водневих іонів.
Сейсмологія – шкала Ріхтера.
Теорія музики – нотна шкала по відношенню
до частот нотних звуків.
Історія – логарифмічна шкала часу.

20.

21.

Закріплення отриманих знань
Вправа 1. Усно. Яка з наведених рівностей
неправильна?
А log 4 64 3 Б log5 125 3
1
3
В log125 5 3 Г log5
125
Вправа 2. Усно. Який із наведених виразів не має
змісту?
А log3 81
В log 2 ( 16)
Б
Г
log 2 10
log8 7

22.

Вправа 3.
Знайдіть логарифми чисел, якщо a 0, a 1
2
4
2
)
log
a
;
3
)
log
a
;
1) log a a;
a
a
1
1
4) log a а ; 5) log a ; 6) log a 3 .
a
a
Розв’язок.
1) log a a 1, оскільки а а;
2
2) log a a 2 log a a 2 1 2;
4
3) log a a 4 log a a 4 1 4;
1
1
1
1
2
4) log a а log a a log a a 1 ;
2
2
2
1
5) log a log a a 1 1 log a a 1;
а
1
3
6) log a 3 log a a 3 log a a 3.
а
1

23.

Вправа 4. Виразіть
1) lg 12 через lg3 та lg4;
2) lg
7
через lg7 та lg8;
8
3) lg8 через lg2.
Розв’язок.
1) lg 12 = lg(3 4) = lg3 + lg 4;
7
2) lg lg 7 lg 8;
8
3) lg8 = lg23=3lg2.

24.

Вправа 5. Знайдіть значення виразів.
1) 99loglog 55 5;
99
2) lg25 + lg4
=
lg4=lg25 4=lg100=2;
3) log
log8816
16 log
log
4
8 48 log8 (16 4) log8 64 2;
33
4
)
log
33
log
11
4) log3333 log3 11
log3 3 1;
3 log 3
11
1
2
11
100 34
100 10
100
lg 34lg 3,lg
4;
5)5) lglg
100
lg 34
4 3,lg
lg
lg100 2;
22
3,4
1
log3 83 8 log3 23 3 log3 2 3
log
6)
1,5;
2
log
log3 43 4 log3 2 2 log3 2 2
log
log22 64
64 log 2 43 3 log 2 4
7)
3.
log
log2244
log 2 4
log 2 4

25.

Робота в парі
Критерії оцінювання
Кожне завдання оцінюється 1 балом.
Якщо ви набираєте
1 - 4 бали, то рівень засвоєння низький,
5-6 – середній, 7-9 – достатній, 10-12 – високий.

26.

Розв'язок завдань
1. Перевірте правильність рівності:
1) log 2 16 4, оскільки 24 16;
1
1
-2
2) log 2 2, оскільки 2 ;
4
3 4
1
3) log 1 8 3, оскільки 8.
2
2
2. Обчисліть:
1) log5 25 2 : 5 25,
1
1
-2
2) log3 2 : 3 ,
9
9
2
3) log 6 12 log 6 3 log 6 (12 6) log 6 36 2;
12
4) log 2 12 log 2 3 log 2 log 2 4 2;
3
15
lg
lg15 lg 3
lg 5
lg 5 1
3
5)
.
2
lg 25
lg 25 lg 5 2 lg 5 2

27.

3. Користуючись основною логарифмічною
тотожністю, спростіть вираз:
1) 5log 7 7;
5
2)
3
log 3
1 log 7 2
3) 7
4) 10
1
3
1
;
3 log 2
1
7 7
lg 2 lg 3
10
7
7 2 14;
lg( 2 3 )
10
lg 6
6.
Критерії оцінювання
Кожне завдання оцінюється 1 балом.
Якщо ви набираєте
1 - 4 бали, то рівень засвоєння низький,
5-6 – середній, 7-9 – достатній, 10-12 – високий.

28.

Повідомлення домашнього
завдання.
вивчити ОК, [5], Гл.5, § 21, п.4, п.5,
виконати вправи 5.12, 5.13 (5-8), 5.14 (3-6) с.207

29.

Систематизація отриманих
знань та вмінь
Таким чином, після сьогоднішнього заняття
ми повинні
знати:
• означення логарифма та його запис;
• основну логарифмічну тотожність;
• основні властивості логарифмів;
уміти:
• застосовувати отримані знання до
розв’язання вправ

30.

Дякую за
заняття