Определенный интеграл

1.

Определенный
интеграл

2.

Правила интегрирования
cf ( x)dx c f ( x)dx, c const
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx
1
f (ax b)dx a F (ax b) C , a 0

3.

Определенный интеграл
В декартовой прямоугольной
системе координат XOY фигура,
ограниченная осью OX, прямыми
x=a, x=b (a<b) и графиком
непрерывной неотрицательной
на отрезке [a;b] функции y=f(x),
называется криволинейной
трапецией

4.

Определенный интеграл
Вычислим площадь криволинейной трапеции. Разобьем
отрезок [a;b] на n равных частей. Проведем через
полученные точки прямые, параллельные оси OY.
Заданная криволинейная трапеция разобьется на n
частей. Площадь всей трапеции приближенно равна
сумме площадей столбиков.
S n f ( x0 ) x0 f ( x1 ) x1 ... f ( xn 1 ) xn 1
S Sn
по определению S lim S n , его называют
n
определенным интегралом от функции
y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначают так:
b
f ( x)dx
a

5.

Связь между определенным
интегралом и первообразной
(Формула Ньютона - Лейбница)
Для непрерывной функции
b
f
(
x
)
dx
F
(
x
)
|
F
(
b
)
F
(
a
)
b
a
a
где F(x) – первообразная функции f(x).

6.

Основные свойства определенного
интеграла
a
f
(
x
)
dx
0
a
b
dx
b
a
a
b
a
a
b
f
(
x
)
dx
f
(
x
)
dx

7.

Основные свойства определенного
интеграла
b
c
b
a
a
c
f
(
x
)
dx
f
(
x
)
dx
f
(
x
)
dx
b
b
a
a
cf
(
x
)
dx
c
f
(
x
)
dx
,
c
const
b
b
b
a
a
a
(
f
(
x
)
g
(
x
))
dx
f
(
x
)
dx
g
(
x
)
dx

8.

Геометрический смысл
определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком непрерывной
положительной на промежутке [a;b] функции
f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:
b
S f ( x)dx
a

9.

Геометрический смысл
определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком непрерывной
отрицательной на промежутке [a;b] функции f(x),
осью x и прямыми x=a и x=b:
b
S f ( x)dx
a

10.

Геометрический смысл
определенного интеграла
Замечание: Если функция изменяет знак на
промежутке [a;b] , то
b
S1 S 2 f ( x)dx
a

11.

Физический смысл
определенного интеграла
При прямолинейном движении перемещение s
численно равно площади криволинейной
трапеции под графиком зависимости скорости v
от времени t:
t2
S v(t )dt
t1

12.

Вычисление площадей и объемов
с помощью определенного интеграла

13.

Площадь фигуры,
Ограниченной графиками непрерывных
функций y=f(x) и y=g(x) таких, что f ( x) g ( x)
для любого x из [a;b], где a и b – абсциссы точек
пересечения графиков функций:
b
S ( f ( x) g ( x))dx
a

14.

Объем тела,
полученного в результате вращения вокруг оси
x криволинейной трапеции, ограниченной
графиком непрерывной и неотрицательной
функции y=f(x) на отрезке [a;b]:
b
V f ( x)dx
2
a