Similar presentations:
Производная и дифференциал. Лекция 5
1.
Лекция 5.Производная
и дифференциал
5-1 Определение производной
5-2 Нахождение производных
5-3 Производные элементарных функций
5-4 Дифференциал функции
26 января 2023 г.
2.
ЭпиграфКакой знак имеет производная от
настроения по расстоянию до
кресла зубного врача?
П.В.Грес
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
2
3.
5-1.Производная
Определение
Геометрический смысл
Механический смысл
26 января 2023 г.
4.
Определение производнойПроизводной функции y = f (x) называется предел отношения
приращения функции к приращению аргумента при стремлении
последнего к нулю:
y
y lim
x 0
x
y
f (x+ x)
y=f (x)
y
f (x)
x
0
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
x
x+ x
x
4
5.
Лагранж Жозеф ЛуиЛагранж
Жозеф
Луи
(1736-1813)
–
французский математик и механик, член
Берлинской и Парижской Академии наук.
Самостоятельной изучал математику, в 23 года
стал академиком. Сделал массу открытий.
Парижская АН пять раз присуждала ему
премии. В математике и механике его именем
названы несколько методов, формул и теорем.
Термин «производная» введен Лагранжем на
рубеже
18-19
веков.
Производная
–
произведенная, полученная по определенным
правилам из данной функции.
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
5
6.
Дифференцируемая функцияНахождение производной называется дифференцированием
этой функции.
Если функция в точке x имеет конечную производную, то
функцию называют дифференцируемой в этой точке.
Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X,
называется дифференцируемой на этом промежутке.
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
6
7.
Четыре обозначения для производнойy
dy
dx
y
Dy
Лагранжа (читается «игрек штрих»)
Лейбница (читается «дэ игрек по дэ икс»)
Ньютона (читается «игрек с точкой»)
Коши (читается «дэ игрек»)
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
7
8.
Геометрический смысл производнойДля функции y = f (x) ее производная y' = f '(x) в точке x0 есть
угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной,
проведенной к графику функции в точке x0.
y
f (x+ x)
y
y lim
x 0 x
lim tg tg
M1
y
y=f (x)
M
x 0
f (x)
0
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
x
x
x+ x
x
При x 0 точка M1 переходит в
точку M и секущая MM1
становится касательной к
кривой f(x) в точке M.
8
9.
Механический смысл производнойДля функции y = f (x), меняющейся со временем x, производная
y' = f '(x) есть скорость изменения y в момент x0.
Пройденный путь s зависит от времени t: s = s(t).
Скорость:
s
st lim
v( t )
t 0 t
Ускорение:
v
v t lim
w (t )
t 0 t
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
9
10.
Лейбниц Готфрид ВильгельмЛейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716) –
немецкий философ, математик, физик,
изобретатель, юрист, историк, экономист,
дипломат, языковед, член Лондонского
королевского общества и Парижской
Академии наук, основатель Берлинской
Академии наук.
В
18
лет
защитил
магистерскую
диссертацию по философии, в 20 лет стал
доктором права.
Является
одним
из
создателей
математического
анализа,
алгебры
определителей,
дифференциального
и
интегрального исчислений.
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
10
11.
Ньютон ИсаакНьютон
Исаак
(1643-1727)
–
английский физик и математик, член
Лондонского королевского общества (с
1672) и его президент (с 1703).
Им
начато
построение
математического анализа на основе
учения о пределе, подготовлены
основы для дифференциального и
интегрального исчисления. В физике
обосновал справедливость закона
всемирного
тяготения,
законы
движения, теорию света и др.
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
11
12.
Непрерывность и дифференцируемостьТеорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке
x Df, то в этой точке функция непрерывна.
Доказательство. Если существует производная, тогда
y
lim y lim x
x 0
x 0 x
y
lim lim x y 0 0
x 0 x x 0
Это означает, что функция в этой точке непрерывна. Обратное
утверждение неверно.
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
12
13.
5-2.Нахождение производных
Схема нахождения производной
Правила дифференцирования
Производная сложной и обратной функций
Производная неявной функции
26 января 2023 г.
14.
Нахождение производной по определению1. Для фиксированного значения x аргумента
находится исходное значение функции y = f (x).
функции
2. Аргументу x дается приращение x и находится новое
значение функции f (x + x).
3. Вычисляется приращение функции y = f (x + x) – f (x).
4. Находится предел отношения:
y
lim
y ( x )
x 0 x
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
14
15.
Производная постояннойФункция:
y C
1. Для фиксированного значения x аргумента функции находим
исходное значение функции y = f (x) = C.
2. Аргументу x даем приращение x и находим новое значение
функции f (x + x)= C.
3. Вычисляем приращение функции:
y = f (x + x) – f (x) = C – C = 0.
4. Находим предел отношения:
y
0
C lim
lim
0
x 0 x
x 0 x
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
15
16.
Производная x2Функция:
y x
2
1. Для фиксированного значения x аргумента функции находим
исходное значение функции y = f (x) = x2.
2. Аргументу x даем приращение x и находим новое значение
функции f (x + x)= (x + x)2.
3. Вычисляем приращение функции:
y = f (x + x) – f (x) = x2 + 2x x + x2 – x2.
4. Находим предел отношения:
y
2 x x x
C lim
lim
2 x x 2 x
x 0 x
x 0
x
2
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
16
17.
Производная суммыПроизводная суммы двух дифференцируемых функций равна
сумме производных:
(u v ) u v
Доказательство.
u( x x ) v ( x x ) (u( x ) v ( x ))
(u( x ) v ( x )) lim
x 0
x
u( x x ) u( x ) v ( x x ) v ( x )
lim
x 0
x
x
u
v
lim
lim
u ( x ) v ( x )
x 0 x
x 0 x
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
17
18.
Производная произведенияПроизводная произведения двух дифференцируемых функций
находится по формуле:
(uv ) u v uv
Доказательство.
u( x x ) v ( x x ) u( x ) v ( x )
(u( x ) v ( x )) lim
x 0
x
u u
v
lim u
v
v uv vu u lim v
x 0 x
x 0
x x
u v uv
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
18
19.
Производная частногоПроизводная частного
находится по формуле:
двух
дифференцируемых
функций
u v uv
u
2
v
v
Доказательство. Самостоятельно.
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
19
20.
Производная сложной функцииЕсли y есть дифференцируемая функция от u, а u есть
дифференцируемая функция от x, то производная сложной
функции существует и равна производной внешней функции,
умноженной на производную внутренней функции:
y x yu (u) ux ( x )
Доказательство.
y
y u
y
u
yx lim
lim
lim
lim
yu ux
x 0 x
x 0 u x
u 0 u x 0 x
u 0
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
20
21.
Производная обратной функцииПроизводная обратной функции равна обратной величине
производной данной функции:
1
x y
y x
Здесь y = f (x) и x = g (y) – две взаимно-обратные
дифференцируемые функции, y'x 0.
Доказательство.
x
1
1
1
x y lim
lim
y y x
y 0 y
y 0 y
lim
x y 0 x
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
21
22.
Производная неявной функцииЕсли F (x, y) = 0, не разрешенное относительно y, определяет y
как однозначную функцию x, то y называют неявной функцией
(implicit function) от x.
Чтобы найти производную y' этой неявной функции, нужно
уравнение продифференцировать по x, считая y как функцию от
x. Из полученного уравнения выразить y'.
Пример.
Ответ.
x y xy 0
2x y
2 x 2 yy ( y xy ) 0 y
x 2y
2
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
2
22
23.
Производные высших порядковФункция f '(x) есть производная первого порядка функции f (x).
Ее производная есть производная второго порядка:
( f '(x))' = f '' (x)
Производная n –го порядка обозначается f (n)(x) и находится как
производная от функции f (n-1)(x).
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
23
24.
5-3.Производные
элементарных функций
Производные логарифмической функции
Производная показательной функции
Производная степенной функции
Производные тригонометрических функций
Таблица производных
26 января 2023 г.
25.
Производная логарифмической функцииФункция:
y ln x
Производная:
1
y (ln x )
x
Доказательство.
1. Для фиксированного значения x аргумента функции находим
исходное значение функции:
f ( x ) ln x
2. Аргументу x даем приращение x и находим новое значение
функции:
f ( x x ) ln( x x )
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
25
26.
Производная логарифмической функции3. Вычисляем приращение функции:
y f ( x x ) f ( x ) ln( x x ) ln( x )
x x
x
ln
ln 1
x
x
4. Находим предел отношения:
y
1 x
y lim
lim
ln 1
x 0 x
x 0 x
x
1 x x
lim
ln 1
x 0 x
x
x
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
x
x
1
1
ln e
x
x
26
27.
Производная логарифмической функцииФункция:
y log a x
Производная:
1
y (log a x )
x ln a
Доказательство: самостоятельно
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
27
28.
Производная показательной функцииФункция:
y e
Производная:
y (e ) e
x
x
x
Доказательство.
Обратная функция: x ln y
Находим, как производную обратной функции:
1
y x
x y
1
1
1
x
y x (e )
y e
x y (ln y ) y 1
y
x
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
28
29.
Производная показательной функцииФункция:
y a
Производная:
y (a ) a ln a
x
x
x
Доказательство. Самостоятельно.
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
29
30.
Производная степенной функцииФункция:
Производная:
y x
n
y n x
n 1
Доказательство.
Логарифмируем обе части равенства
Дифференцируем: 1
1
y
ln y n ln x
y n
x
1
1
n
n 1
y y n x n n x
x
x
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
30
31.
Производные тригонометрических функцийФункция:
y sin x
Производная:
y cos x
Доказательство.
y
sin( x x ) sin x
y lim
lim
x 0 x
x 0
x
x
x
x
2 sin
cos x
sin
x
2
2
2
lim
lim
lim cos x cos x
x x 0
x 0
x 0
x
2
2
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
31
32.
Производные тригонометрических функцийФункция:
y cos x
Производная:
y sin x
Функция:
Производная:
y tg x
1
y
cos2 x
Доказательство. Самостоятельно.
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
32
33.
Таблица производныхФункция
Производная
y C
n
y x
y 0
n 1
y n x
1
y
x
y cos x
y ln x
y sin x
y cos x
y sin x
И так далее…
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
33
34.
5-4.Дифференциал
Определение
Геометрический смысл
Свойства
26 января 2023 г.
35.
Приращение функцииПусть функция y = f (x) определена на промежутке X и
дифференцируема в некоторой окрестности точки x X. Тогда
существует конечная производная:
y
y lim
x 0 x
На основании теоремы о связи предела и б.м. можно записать:
y
f ( x ) ( x )
x
y f ( x ) x ( x ) x
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
35
36.
ДифференциалДифференциал функции (differential) есть главная (линейная)
часть приращения функции, равная произведению производной
на приращение аргумента:
dy f ( x ) x
Или
dy f ( x ) dx
Если x – независимая
переменная, то x = dx
Дифференциал
y f ( x ) x ( x ) x
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
36
37.
Пример нахождения дифференциалаНайти дифференциал для функции:
y 3x 4 x
2
Решение.
Находим производную:
y 6x 4
А затем дифференциал:
dy y dx (6 x 4)dx
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
37
38.
Геометрический смыслГеометрически дифференциал есть приращение функции до
касательной.
dy y dx tg x
y
y=f (x)
f (x+ x)
y
x
f (x)
0
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
x
dy
x+ x
x
38
39.
Свойства1. Дифференциал постоянной:
dC 0
2. Дифференциал суммы:
d (u v ) du dv
3. Дифференциал произведения: d ( uv ) u dv v du
4. Дифференциал частного:
u u dv v du
d
2
v
v
Свойства дифференциала связаны со свойствами производной.
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
39
40.
Дифференциал историиЛ. Н. Толстой
«Война и мир»
Обещанное продолжение …
Движение человечества, вытекая из бесчисленного количества людских
произволов, совершается непрерывно.
Постижение законов этого движения есть цель истории. Но для того, чтобы
постигнуть законы непрерывного движения суммы всех произволов людей, ум
человеческий допускает произвольные, прерывные единицы. Первый прием истории
состоит в том, чтобы, взяв произвольный ряд непрерывных событий, рассматривать
его отдельно от других, тогда как нет и не может быть начала никакого события, а
всегда одно событие непрерывно вытекает из другого. Второй прием состоит в том,
чтобы рассматривать действие одного человека, царя, полководца, как сумму
произволов людей, тогда как сумма произволов людских никогда не выражается в
деятельности одного исторического лица.
Историческая наука в движении своем постоянно принимает все меньшие и
меньшие единицы для рассмотрения и этим путем стремится приблизиться к истине.
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
40
41.
Дифференциал историиЛ. Н. Толстой
«Война и мир»
Продолжение …
Но как ни мелки единицы, которые принимает история, мы чувствуем, что
допущение единицы, отделенной от другой, допущение начала какого-нибудь явления
и допущение того, что произволы всех людей выражаются в действиях одного
исторического лица, ложны сами в себе.
Всякий вывод истории, без малейшего усилия со стороны критики, распадается,
как прах, ничего не оставляя за собой, только вследствие того, что критика избирает
за предмет наблюдения большую или меньшую прерывную единицу; на что она
всегда имеет право, так как взятая историческая единица всегда произвольна.
Только допустив бесконечно-малую единицу для наблюдения - дифференциал
истории, то есть однородные влечения людей, и достигнув искусства интегрировать
(брать суммы этих бесконечно-малых), мы можем надеяться на постигновение
законов истории.
Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
41