Тригонометричні функції числового аргументу. Означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кутів повороту. Урок 1-2

1. Тригонометричні функції числового аргументу. Означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кутів повороту.

2.

Коло одиничного радіуса з центром в початку координатної площини називається
одиничним (тригонометричним) колом.
y
Точка перетину кола з додатною піввіссю
абсцис відповідає центральному куту
повороту 00.
1
A00
0
1
х

3.

Цю початкову точку можна обертати по колу і отримувати різні центральні кути.
Обертання точки в напрямку проти годинникової стрілки вважається додатнім, а
за годинниковою стрілкою– відємним.
y
1
“+”
A00
0
1
х
“–”

4.

Прослідкуйте за обертанням точки по колу и назвіть отримані кути повороту:
y
A 6300
1
A 1800
A00
1
0
A2700
х
A3600

5.

Якщо дотати повний оберт до гострого кута α
, то ми знову
опинимось
в тій самій точці А. Але
зараз
3600 вона відповідає куту повороту
(подумайте)…
.
y
1
Aα
Aα+3600
10200=3600·2+3000
1020 360
720 2
300
0
A0
1
x

6.

Радіанна міра кута

7.

Розгорнутий кут = π радіан
1800 = π радіан
1 градус позначається так: 10.
Радіан не має ніяких позначень. Наприклад, запис sin 2 означає
“синус двох радіан”, а запис sin 20 означає “синус двох
градусів”.
.

8.

Задача
Дано: кут α = 300.
Треба: перевести в радіани.
Складаємо пропорцію:
1800 - π
300 - х

9.

10.

11.

Пригадаємо, що будь-яка точка координатної площини має дві
координати – абсцису і ординату:
y
M( x; y)
y
1
x
0 1
x – абсциса точки M
x
y – ордината точки M
(x ; y) – координати точки M

12.

Розглянемо одиничне тригонометричне коло і довільний гострий кут
повороту , який ми отримуємо в результаті повороту точки (1;0) навколо
центра кола на кут рад
y
2
sin 1
0
cos – абсциса точки повороту
cos
1
0
x
sin – ордината точки повороту

13.

Отже, маємо
залежність між дійсним
числом і абсцисою
та ординатою
відповідної точки
одиничного кола, на яку
відображується
початкова точка (1;0)
під час повороту
навколо центра кола
на кут рад
Ці залежності дістали назву
тригонометричних функцій числа, або
тригонометричних функцій числового
аргументу.

14.

Синусом числа
називається ордината точки
одиничного кола, в яку переходить
початкова точка (1;0) під час
повороту навколо центра кола на
кут рад, і позначається sin .
Косинусом числа називається абсциса точки
одиничного кола, в яку переходить початкова точка
(1;0) під час повороту навколо центра кола на
кут рад, і позначається cos .
Тангенсом числа називається відношення
а котангенсом числа відношення
, і
позначаються вони відповідно tg і ctg .

15. Отже, за означенням

2
y
0
0
3
2
2 x

16.

Прослідкуємо за координатами точки одиничного
тригонометричного кола, яку будемо отримувати в
результаті повороту на різні додатні кути від 0 до 2 :
y
0(1; 0)
2 1
cos 0 1
0
3
2
1
0
2
x
sin 0 0

17.

Прослідкуємо за координатами точки одиничного
тригонометричного кола, яку будемо отримувати в
результаті повороту на різні додатні кути від 0 до 2 :
y
2 1
3 1
;
6 2 2
1
2
6
0
0
3 1 2
x
2
3
cos
6
2
3
2
1
sin
6
2

18.

Прослідкуємо за координатами точки одиничного
тригонометричного кола, яку будемо отримувати в результаті
повороту на різні додатні кути від 0 до 2 :
2
2 ; 2
4 2
y
1
2
2
1
2
2
4
6
0
2
2
0
31 2
x
2
2
cos
4
2
3
2
2
sin
4
2

19.

Прослідкуємо за координатами точки одиничного
тригонометричного кола, яку будемо отримувати в
результаті повороту на різні
додатні кути від 0 до 2 :
2 y
3 1
1 3
3
;
2
2
3
2
2
2
1
2
4
6
0
1
cos
3 2
3
2
1
2
2
2
0
31 2
x
2
3
sin
3
2

20.

Прослідкуємо за координатами точки одиничного
тригонометричного кола, яку будемо отримувати в результаті
повороту на різні додатні кути від 0 до 2 :
y
2
0;1
3
2
2
2
1
2
2
1
3
4
6
0
cos
2
0
3
2
0
1
2
2
2
x
1 2
3
2
sin
2
1

21.

22.

Проведемо промінь з
початку координатної
площини через точку
повороту .
y
2
1
0
1
0
1 0
x
3
2
Тепер проведемо числову пряму , яка є дотичною до одиничного кола
в точці 0, з тим же початком відліку і таким же одиничним відрізком
як на осі Оу.

23.

Ця координатна пряма називаєтся лінією тангенсів,
бо в точці перетину променя, проведеного з центра кола через
точку повороту знаходиться значення tg .
y
2 1
1
0
3
2
1
tg
0
x
Лінія тангенсів

24.

лінія
тангенсів
tg 4
y
2 4
1
1
tg 5
0 x
1 tg0
tg 3
3
0
5
1
2
tg 2
2
tg 1

25.

Аналогічно побудуємо лінію котангенсів
y
ctg 5 ctg 4 2 0 ctg 3 1 ctg 2
3
1
4
2
1
x
10
0
5
лінія
котангенсів
ctg 1
2
Проведемо числову пряму , яка дотичною до одиничного
кола в точці , з тим же початком відліку і таким же
2
одиничним відрізком як на осі Ох.

26.

Отже, кожен з Вас у зошиті повинен отримати одиничне
(тригонометричне) коло :
y
Лінія синусів
3
1
3
4
3
3
2
2
3
Лінія тангенсів
3
0
3
2
3
3
1
3
4
1
2
2
1
2
5
6
1
23
2
1 22
7
6
1
2
5
4
4
3
3
2
3
2
1
3
3
3
2
1
2
Лінія котангенсів
6
0
2
2
0
3
1
2 Лінія косинусів
3
11
3
2
2
5
3
7
4
x
6
1
Перевірте його правильність

27.

Поясніть знаки тригонометричних функцій
у кожній з чотирьох координатних чвертей
у
у
+ +
х
1
- -
0
1
- +
+ 1
1
х
- +
+ 1
0
1
sin68 0
cos 76 0
sin 153 0
cos 236 0
sin 249 0
tg127 0
sin 315 0
ctg195 0
у
0
- +
- +
1
1
0
у
х
х

28.

Який знак має вираз :
ІІІ чверть
-
ІV чверть +
ІІ чверть
+
ІІІ чверть
+
ІІ чверть
-
І чверть
+
2
ІІ
ІІІ
3
2
y
І
ІV
0
2

29.

Запишіть у градусній мірі кут:
1)
1800
Запишіть у радіанній мірі кут:
2)
180
y
У якій чверті закінчується кут?
x
3)
Відповідь:
І чверть, : ІІІ чверть, : ІІІ чверть

30.

Який знак має вираз :
4)
y
2
0
2 x
-1
5)
Знайдіть значення виразу:
3
2

31.

6)
Чи можлива рівність ?
Лінія тангенсів
Лінія синусів
Лінія котангенсів
2
y
1
Лінія косинусів
1 0
2 x
-1
3
2
- -1
-1

32. Математичний диктант Тригонометричні функції числового аргументу.Означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кутів

повороту.
Запишіть у градусній мірі кути:
1)
а)
; б)
а)
; б)
Запишіть у радіанній мірі кути:
2)
а)
; б)
а)
У якій чверті закінчується кут?
3)
; б)

33. Математичний диктант Тригонометричні функції числового аргументу.Означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кутів

повороту.
Який знак має вираз :
4) а)
; б)
а)
Знайдіть значення виразу:
5)
Знайдіть значення виразу:
6)
; б)

34. Математичний диктант Тригонометричні функції числового аргументу.Означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кутів

повороту.
Знайдіть значення виразу:
7)
Кутом якої чверті є кут α, якщо відомо, що
8)
9)
Порівняйте значення виразів.
Відповідь поясніть за допомогою тригонометричного кола:

35. Математичний диктант Тригонометричні функції числового аргументу.Означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кутів

повороту.
Взаємоперевірка
1)
2 бали
2)
а)
2 бали
3)
1 бал
IV чверть
; б)
IV чверть

36. Математичний диктант Тригонометричні функції числового аргументу.Означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кутів

повороту.
Взаємоперевірка
4) а)
1 бал
5)
1 бал
6)
1 бал
; б)
а)
-
+
=0
; б)
-
-
= -1

37. Математичний диктант Тригонометричні функції числового аргументу.Означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кутів

повороту.
Взаємоперевірка
7)
1 бал
8)
IІ чверть
1 бал
IV чверть
-
+
-
+
9)
2 бали
-
-1
0
-