Методы нахождения неопределенного интеграла. Подведение под знак дифференциала

1.

Методы нахождения
неопределенного интеграла.
Подведение под знак
дифференциала.
Шульц Денис Сергеевич

2.

План занятия.
Методы нахождения неопределенных интегралов
Таблица дифференциалов
Подведение под знак дифференциала

3.

Неопределенные интегралы
(приёмы интегрирования)
Непосредственное интегрирование
Подведение под знак дифференциала
Метод подстановки (замена переменной)
Интегрирование по частям
Простейшие преобразования подынтегрального выражения
Метод неопределенных коэффициентов

4.

Неопределенные интегралы
(приёмы интегрирования)
Подведение функции под знак дифференциала
Под знаком дифференциала можно сформировать нужное выражение и
свести интеграл к табличному.
Метод подстановки (замена переменной)
Проводят замену переменной, руководствуясь следующим критерием:
хороша только та подстановка, которая приводит к более простому интегралу, чем
исходный. Применяется при взятии интегралов от иррациональных,
тригонометрических функций.

5.

Метод подстановки
Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические
функции
Основной приём интегрирования – замена переменной (универсальная
тригонометрическая подстановка)
Интегрирование иррациональных функций (корни)
Основной приём интегрирования – замена переменной, избавляющая от
всех корней в подынтегральной функции

6.

Неопределенные интегралы
(приёмы интегрирования)
Интегрирование по частям
Метод используется при интегрировании выражений, представляющих
собой произведение разнородных функций (произведение многочлена на
показательную или тригонометрическую функцию, обратные
тригонометрические функции, логарифмические и т.д.)

7.

Неопределенные интегралы
(приёмы интегрирования)
Интегрирование по частям
Метод используется при интегрировании выражений, представляющих
собой произведение разнородных функций (произведение многочлена на
показательную или тригонометрическую функцию, обратные
тригонометрические функции, логарифмические и т.д.)
Простейшие преобразование подынтегрального выражения
• тригонометрические формулы
• выделение целой части
• выделение полного квадрата
• выделение дифференциала

8.

Неопределенные интегралы
(приёмы интегрирования)
Метод неопределенных коэффициентов
(интегрирование рациональных дробей)
Из курса школьного алгебры вспомнить:
правильная / неправильная дробь
разложение дроби на простые множители
рациональная дробь
Из курса «Линейная алгебра» вспомнить:
• Решение систем линейных уравнений
В конечном итоге интегрирование правильных рациональных дробей
сводится к интегрированию простейших дробей

9.

Подведение под знак
дифференциала
Существует большой класс интегралов, в которых можно под знаком
дифференциала сформировать нужное выражение и свести интеграл к
табличному.
Подведение под знак дифференциала – это внесение под знак
дифференциала
постоянного
слагаемого,
функции, либо того и другого вместе
df x = f ′ x dx
постоянного
множителя,

10.

Подведение под знак
дифференциала
Внесение постоянного слагаемого
d x + a = x + a ′ dx = x ′ dx = dx
⇒
dx = d x + a
, где a = const
Под знак дифференциала к переменной интегрирования можно
прибавить любое число a, нужное в данной ситуации (выгодное)
න