Механика твердого тела (лекция 4)

1.

Лекция 4.
Механика твердого тела
Составитель: старший преподаватель кафедры МФиИТ,
канд. физ.-мат. наук Маринова С.А.

2.

План лекции
1. Момент инерции
2. Закон сохранения импульса
3. Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения
4. Момент импульса и закон его сохранения

3.

1. Момент инерции
Момент инерции материальной точки – скалярная физическая величина,
являющаяся мерой инертности при вращательном движении, численно равная
произведению массы точки на квадрат расстояния от точки до оси вращения.
I mr 2 .
Момент инерции системы (тела) относительно данной оси – скалярная
физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек
системы на квадраты их расстоянии до рассматриваемой оси:
n
I mi ri 2 .
i 1
В случае непрерывного распределения массы: I r 2 dm.
V

4.

Моменты инерции однородных тел массой m ,
имеющих правильную геометрическую форму и равномерное
распределение массы по объему
Тело
Полый тонкостенный
цилиндр радиусом R
Положение оси вращения
Ось симметрии
Сплошной цилиндр или
диск радиусом R
Ось симметрии
Прямой тонкий стержень
длиной l
Ось перпендикулярна стержню и
проходит через его центр
Шар радиусом R
Ось проходит через центр шара
Момент инерции
I mR 2
1
I mR 2
2
1 2
I ml
12
2
I mR 2
5

5.

Теорема Гюйгенса-Штейнера
момент инерции тела I относительно произвольной оси равен моменту его
инерции I C относительно параллельной оси, проходящей через центр масс C тела,
сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния a между осями:
I I C ma 2 .

6.

2. Кинетическая энергия вращения
При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его
элементарные объемы массами mi опишут окружности различных радиусов ri и
будут иметь различные линейные скорости i . Но так как мы рассматриваем
абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:
n
1 2
.
(1)
r1 r2
rn
Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических
энергий его элементарных объемов:
n
mn n2
mi i2
m1 12 m2 22
Tвр
.
(2)
2
2
2
2
i 1

7.

Подставив формулу (1) в (2), получим
2
mi 2 ri 2 2 n
I
2
z
Tвр
m
r
.
i i
2
2 i 1
2
i 1
В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с
наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии
поступательного движения и энергии вращения:
n
m C2 I C 2
T
.
2
2

8.

3. Момент силы. Уравнение динамики вращательного
движения
Момент силы относительно неподвижной точки O – векторная физическая
величина, характеризующая вращательный эффект силы и определяемая векторным
произведением радиуса-вектора r , проведенного из точки O в точку приложения
силы, на силу F :
M r , F .
Модуль момента силы
M F r sin F d ,
где – угол между r и F ;
d r sin – кратчайшее расстояние между линией
действия силы и точки.

9.

Момент силы относительно неподвижной оси z – скалярная физическая
величина M z , равная проекции на эту ось вектора M момента силы, определенного
относительно произвольной точки O данной оси. Значение момента M z не зависит
от выбора положения точки O на оси z .
Если ось z совпадает с направлением вектора M ,
то момент силы представляется в виде вектора,
совпадающего с осью:
M z r , F .
z
Найдем выражение для работы при вращении тела.
При повороте тела на угол d точка приложения
проходит путь ds rd и работа равна
dA F sin r d
или, с учетом определения момента силы и момента силы относительно оси,
dA M z d .

10.

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:
dA dT ,
но
I z 2
dT d
I z d ,
2
d
d
или
M z d I z d
Mz
I z
.
dt
dt
поэтому
Поскольку
d
, то
dt
d
M z Iz
I z .
dt
(3)
Выражение (3) называется уравнением динамики вращательного движения тела
относительно неподвижной оси.
Если ось z совпадает с главной осью инерции, то выражение (3) можно записать
M I .

11.

4. Момент импульса и закон его сохранения
Момент импульса L материальной точки A относительно неподвижной точки O –
векторная физическая величина, определяемая векторным произведением радиусвектора точки r на импульс p материальной точки:
L r , p r , m .
Модуль вектора момента импульса
L p r sin m r sin pd .
Момент импульса относительно неподвижной оси z –
скалярная величина Lz , равная проекции на эту ось вектора
момента
импульса,
определенного
относительно
произвольной точки O данной оси. Момент импульса не зависит от положения
точки O на оси z .

12.

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая
отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса ri с некоторой
скоростью i . Скорость i и импульс m i перпендикулярны этому радиусу, т. е.
радиус является плечом вектора m i . Поэтому можем записать, что момент импульса
отдельной частицы равен
Liz mi i ri
и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.
Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов
импульса отдельных частиц:
n
n
n
i 1
i 1
i 1
Lz mi i ri mi ri 2 mi ri 2 I z .
Продифференцировав по времени, получим
dLz
d
Iz
I z M z .
dt
dt

13.

Выражение
dLz
Mz
dt
является еще одной формой записи уравнения динамики вращательного
движения твердого тела. В векторной форме:
dL
M.
dt
dL
В замкнутой системе момент внешних сил M 0 и
0,
dt
(4)
L const.
Выражение (4) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент
импульса замкнутой системы не изменяется с течением времени.
Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы. Он
связан со свойством симметрии пространства – его изотропностью (инвариантностью
физических законов относительно выбора направления осей координат системы
отсчета).