1.83M

Category:

physics

Механика твердого тела

1.

Курс общей физики НИЯУ МИФИ
Добро пожаловать в Физику!
Welcome to Physics!
Zapraszamy do Fizyki!
Fizik`e hoş geldiniz!
Chào mừng bạn đến Vật lý!
Bienvenido a la física!
পদার্বিদযা
থ
স্বাগতম!
Willkommen in Physik!
Лектор: Доцент, кандидат физ.-мат. наук, Андрей ОЛЬЧАК
Lecturer: Andrey OLCHAK, Professor Associate, DSc

2.

Общая Физика
Лекция 9
Механика твердого тела _ 2
Лектор:
доцент НИЯУ МИФИ, к.ф.-м.н.,
Ольчак Андрей Станиславович

3.

Виды движения твердого тела
1. Поступательное движение
Поступательное движение - такое движение твердого тела, при
котором любая прямая проведенная между любыми двумя
материальными точками твердого тела при движении всегда остается
параллельной самой себе.
Центр масс твердого тела ВСЕГДА движется так же, как двигалась бы
материальная точка равной массы под действием всех приложенных к
телу внешних сил.
При поступательном движении все остальные точки тела
движутся параллельно центру масс.

4.

Виды движения твердого тела
1. Поступательное движение
Поступательное движение твердого тела: любая прямая
проведенная между любыми двумя точками твердого тела при
движении всегда остается параллельной самой себе.
При поступательном движении достаточно следить за любой одной
точкой тела. Остальные движутся параллельно. Описание такого
движения ничем не отличается от описания движения одной
материальной точки.
Надо следить за не более, чем тремя ее координатами..

5.

Вращательное движения твердого тела
2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
φ
При вращении твердого тела вокруг
закрепленной оси все его точки движутся по
окружностям с центрами на оси вращения.
Тело при этом не обязательно должно совершать
полные обороты. Возможны просто колебания.
Достаточно следить за одной координатой - углом
поворота φ по отношению к некоторой опорной
оси..

6.

Уравнения движения
Поступательное движение..
dP/dt = mdv/dt = ∑F
Вращательное движение вокруг фиксированной
оси 0Z
dMz/dt = Izdωz/dt = Izβz = ΣNz
Здесь βz - угловое ускорение вращающегося тела в проекции на ось
вращения OZ; ΣNz - сумма проекций всех моментов внешних сил на
ось вращения OZ.

7.

Моменты инерции
Момент инерции твердого тела относительно оси вращения OZ
можно представить в виде суммы или интеграла
Iz = Σ mi Ri2 = ρ(r)rz2dV
Для отдельной элементарной массы m,
(материальной точки) вращающейся
на расстоянии R от оси,
момент инерции очевидно равен
Iz = mR2
Далее: моменты инерции для некоторых
симметричных тел

8.

Моменты инерции
для некоторых симметричных тел
1. Материальная точка, вращающаяся
вокруг оси на расстоянии R от нее:
Iz = MR2
2. Кольцо и тонкостенный цилиндр, радиуса R,
вращающиеся вокруг оси симметрии
Iz = MR2
3. Однородный цилиндр радиуса R,
вращающийся вокруг оси симметрии
Iz = MR2/2
4. Тонкостенная сфера радиуса R,
вращающаяся вокруг оси симметрии
Iz = 2MR2/3
5. Однородный шар радиуса R,
вращающийся вокруг оси симметрии
Iz = 2MR2/5
6. Однородный тонкий стержень длины L,
вращающийся вокруг оси перпендикулярной ему
и проходящей через конец стержня
Iz = MR2/3

9.

Теорема
mi
Rci
C
Ri
o
a
Штайнера
Пусть нам известен момент инерции тела массы М
относительно оси, проходящей через центр масс С.
Найдем его момент инерции относительно
параллельной оси, проходящей через точку О,
отстоящую от С на радиус - вектор а.
IО = ΣmiRi2 = Σmi(Rci + a)2 = ΣmiRci2 + 2aΣmiRci +(Σmi)a2
ΣmiRci2 = IС ; 2aΣmiRci = 0 ; (Σmi)a2 = Ма2
IО = IС + Ма2
Момент инерции тела относительно произвольной оси равен его моменту
инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс,
плюс произведению массы тела на квадрат расстояния между осями.

10.

Кинетическая энергия твердого тела при
вращении вокруг неподвижной оси
Кинетическая энергия твердого тела:
T = Σmivi 2/2
Линейная скорость i-ой точки:
vi = [ω,ri] ; vi = ωRi
T = Σmivi 2/2 = ω2ΣmiRi 2/2
ΣmiRi 2 = Iz
Окончательно для кинетической энергии находим:
T = Iz ω2/2

11.

Работа внешних сил при вращении
твердого тела вокруг неподвижной оси
fi- равнодействующая всех внутренних сил, действующих на mi
Fi- равнодействующая всех внешних сил, действующих на mi
fi+ Fi - равнодействующая всех сил, лежащая в плоскости вращения
dAi = (fi+Fi)dri -
элементарная работа всех сил;
Так как dri = [dφ,ri ]
dAi = (fi [dφ,ri ]) +(Fi [dφ,ri ])
После циклической перестановки векторов:
dAi = (dφ[fi ,ri ]) +(dφ[Fi,ri ])
Суммируем по всем элементарным массам:
dA=ΣdAi=(dφ,Σ[fi ,ri]) +(dφ,Σ[Fi,ri])=(dφ,ΣNi внутр) +(dφ,ΣNiвнеш )
= NZ внешdφ
A = NZ внешdφ
Окончательно: dA = (dφ, ΣNi внеш )
При повороте на конечный угол:

12.

13.

Плоское движение твердого тела
Комбинация поступательного движения и вращения вокруг фиксированной
оси. Пример: колесо или диск, катящийся по дороге. Следует учитывать
изменения двух пространственных координат (x, y) и одной угловой φ
При плоском движении скорость любой точки тела может
быть представлена в виде
V = Vпоступ + [ω,r]
Где r - радиус-вектор точки относительно любой точки на оси
вращения, проходящей через центр масс тела

14.

Виды движения твердого тела
3. Плоское движение
Комбинация поступательного и вращательного движения. Тело
одновременно движется поступательно и вращается вокруг некоторой
оси, остающейся ориентрованной в пространстве неизменно. Все
точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. Пример колесо, катящееся по дороге.

15.

Виды движения твердого тела
3. Плоское движение
Комбинация поступательного и вращательного движения. Тело
одновременно движется поступательно и вращается (колеблется)
вокруг некоторой оси, остающейся ориентрованной в пространстве
неизменно. Все точки тела перемещаются в параллельных
плоскостях. Пример - колесо, катящееся по дороге.

16.

17.

18.

19.

20.

Виды движения твердого тела
3. Плоское движение
Тело одновременно движется поступательно и вращается вокруг
некоторой оси, остающейся ориентрованной в пространстве
неизменно. Все точки тела перемещаются в параллельных
плоскостях. Пример - колесо, катящееся по дороге.
При плоcком движении надо следить за поступательным движением
центра масс колеса (координаты x. y), а также за углом поворота тела
по отношению к исходному положению.

21.

22.

dMz/dt = Izdωz/dt = Izβz = ΣNz

23.

Кинетическая энергия твердого тела
при плоском движении
При плоском движении, как и для любой системы материальных
точек, действует теорема Кенига
1 2
T T mv C
2
Для плоского движения твердого тела
T = Izω2/2 + mvc2/2
.

24.

Связь кинетической энергии системы
частиц в ц–системе и в л–системе.
ri rC ri
vi vC v i
1 N
1 N
2
2
T mi vi mi vC v i
2 i 1
2 i 1
N
N
1 N
1
1
mi v i 2 mi vC2 2 mi v i vC
2 i 1
2 i 1
2 i 1

25.

Связь кинетической энергии системы
частиц в ц–системе и в л–системе.
N
1 N
1
2
T mi vi2 mi vC v i
2 i 1
2 i 1
N
N
1 N
1
1
2
2
mi vi mi vC 2 mi vi vC
2 i 1
2 i 1
2 i 1
1 N
2
mi vi T
2 i 1
N
m
i 1
N
i
m
mi v i P 0
i 1
- кинетическая энергия в ц - системе
- полная масса системы
- полный импульс в ц - системе, равный нулю
1 2
T T mv C
2
- теорема Кенига

26.

Плоское движение твердого тела
Комбинация поступательного движения и вращения вокруг фиксированной
оси. Пример: колесо или диск, катящийся по дороге. Следует учитывать
изменения двух пространственных координат (x, y) и одной угловой φ
V = Vпоступ + [ω,r]
Где r - радиус-вектор точки относительно любой точки на оси
вращения, проходящей через центр масс тела
T = Izω2/2 + mvc2/2
.
dP/dt = ΣF
dMz/dt = Izdωz/dt = Izβz = ΣNz

27.

Скатывание БЕЗ проскальзывания
mdv/dt = ΣF
mw = mg sin(a) – FTP
mg cos(a) = F
Izdωz/dt = Izβz = ΣNz= RFTP
w = Rβz
mw = mg sin(a) – FTP
Izβz = Iz(w/R) = RFTP = Rm(g sin(a) – w) =>
w = R2mg sin(a) /(Iz+mR2)

28.

Скатывание БЕЗ проскальзывания
mw = mg sin(a) – FTP
w = R2mg sin(a) /(Iz+mR2)
FTP = mg sin(a) – mw = mg sin(a)(1 – mR2/(Iz+mR2)) =
= mg sin(a)Iz /(Iz+mR2) < kmg cos(a) =>
k> tg(a) Iz /(Iz+mR2)
…а если k< tg(a) Iz /(Iz+mR2)

29.

Скатывание C проскальзыванием
mdv/dt = ΣF
mw = mg sin(a) - FTP
mg cos(a) = F
Izdωz/dt = Izβz = ΣNz= RFTP
w = Rβz => FTP = kF,
причем k< tg(a)Iz/(Iz+mR2)
w = g(sin(a) + k cos(a))
Izβz = RFTP = Rkmg cos(a)=> βz = Rkmg cos(a) /Iz
βz = Rkmg cos(a) /Iz < Rmg tg(a)/(Iz+mR2)
w = R2mg sin(a) /(Iz+mR2)

30.

Плоское движение твердого тела.
Примеры и задачи.

31.

Свободное движение твердого тела
Комбинация поступательного и вращательного движения без всяких
ограничений. Возможно движение в трех пространственных направлениях,
сочетаемое с вращением вокруг любой оси, причем ось вращения тоже
может менять направление.
При любом, самом сложном движении скорость любой точки тела,
наблюдаемую из «лабораторной» системы отсчета, можно представить
как сумму двух компонент:
• поступательной (вместе с центром масс), и
• вращательной (вокруг центра масс)
V = Vпоступ + [ω,r]
здесь r - радиус-вектор точки относительно центра масс тела, а ω –
угловая скорость его вращения

32.

Свободное движение твердого тела
При свободном движении твердого тела связь векторов угловой
скорости и момента импульса сложнее
Mi= Iijωj
Iij =
Ixx
Iyх
Izx
Ixy
Iyy
Izy
Ixz
Iyz
Izz
тензор (матрица)
моментов инерции
Mx= Ixх ωx + Ixy ωy + Ixz ωz
My= Iyх ωx + Iyy ωy + Iyz ωz
Mz= Izх ωx + Izy ωy + Izz ωz

33.

Свободное движение твердого тела
Если тело имеет оси симметрии, и если направить оси координат x, y,
z вдоль осей симметрии, тензор инерции может стать диагональным
Ixx
0
0x
0
Iyy
0
0
0
Izz
Mx= Ixх ωx
My= Iyy ωy
Mz= Izz ωz
Mi= Iiiωi
Для “самых симметричных” тел (сфера, шар) Ixx = Iyy = Izz = I; M= Iω
Свободно движущееся тело вращается вокруг оси, проходящей через
центр масс тела.
Оси вращение несимметричных тел, как правило, не устойчивы. При
наличии внешних сил (даже слабых) ось вращения может менять
направление, а при вращении тела вокруг закрепленной оси на оси могут
возникать заметные нагрузки. Если убрать закрепление - тело может
начать «кувыркаться».
У симметричных тел могут быть т.н. главные оси симметрии, вращение
вокруг которых может быть устойчиво.

34.

Движение с произвольной осью вращения
У симметричных тел могут быть т.н. главные оси
симметрии, вращение вокруг которых может быть
устойчиво. «Самые главные» оси те, вращение вокруг
которых всегда устойчиво. Такое вращение может
продолжаться и после снятия закрепления.
Пример: быстрое вращение стержня на подвесе
остается устойчивым еще некоторое время, если снять
нить с подвеса. По мере замедления вращения
устойчивость его теряется.
Смотрите «ФИЗИКУ в ОПЫТАХ» на openedu.ru!
Это необходимо для получения «зачета» и допуска к
экзамену. Но ГЛАВНОЕ: Вы станете лучше понимать
физику!
Особенно это касается механики вращательного движения!
^

35. ГИРОСКОПЫ

Гироскоп- массивное симметричное твердое тело, вращающееся с большой угловой
скоростью вокруг оси симметрии, причем ось симметрии гироскопа может
поворачиваться в пространстве
Ось гироскопа – ось симметрии гироскопа – ось Х, является одной из главных
осей инерции гироскопа. Две другие главные оси инерции (оси Y и Z ),
проведенные через точку О, лежат в плоскости, перпендикулярной оси Х.
Точка опоры гироскопа – неподвижная точка на оси гироскопа –точка О.
Момент инерции гироскопа - главный момент инерции относительно оси Х:
dM
N
dt
M I I ex
M I const.

36.

Гироскопический эффект
Гироскопический эффект
Под действием силы F , приложенной
к оси гироскопа в направлении
линии В-В, ось гироскопа смещается
в направлении момента этой силы ,
то есть в перпендикулярном силе F
направлении ( вдоль линии D-D).
Этот эффект называется
гироскопическим эффектом
dM
N
dt

37.

Прецессия гироскопа
Прецессия гироскопа –
вращение оси гироскопа под действием
приложенных к оси внешних сил (силы
тяжести Р, например).
Угловая скорость прецессии ω<<Ω
dM
, M N
dt
PX c
I
ЧТО НАДО ЗНАТЬ из теории движения гороскопа:
• Угловая скорость прецессии ω обратно пропорциональна угловой
скорости вращения гироскопа ω ~ 1/Ω
• Вектор ω направлен против вектора внешней силы Р;
• Приближенная теория справедлива, когда ω<<Ω .
• При ω ~ Ω наблюдаются колебания оси гироскопа – нутация
• При уменьшении угловой скорости Ω вращение гироскопа теряет
устойчивость

38.

Курс общей физики НИЯУ МИФИ
Спасибо за внимание!

39.

Физический маятник
Физический маятник - массивное тело, совершающее
o
(небольшие) колебания вокруг оси подвеса
L
Полная энергия физического маятника в любой точке
равна:
C
m
E = T+U = Izω2/2+mgL(1- cosφ) =
= Izω2/2 + mgLφ2/2
В силу закона сохранения энергии:
dE/dt=Izω(dω/dt)+mgLφ(dφ/dt)=ω(Izd2φ/dt2+mgLφ)=0
Или: d2φ/dt2+(mgL/Iz) φ =0
Решение:
φ(t)= φ0cos(ωt+α), где ω = (mgL/Iz)1/2

English Русский Rules