Треугольники и четырехугольники

1.

2.

О равенстве углов со взаимно
перпендикулярными сторонами
Если АВС и DEF оба острые или оба
тупые и АВ DE, BC EF, то
АВС = DEF.
А
С
Задача 1
Задача 2
Задача 5
D
E
В
F

3.

О точках пересечения медиан, биссектрис,
высот треугольника
Три биссектрисы треугольника пересекаются
в одной точке.
Три высоты треугольника пересекаются в
одной точке (ортоцентр треугольника).
Три медианы треугольника пересекаются в
одной точке (центроид треугольника) и
делятся ею в отношении 2:1, считая от
вершины.
Задача 4

4.

Свойства средней линии трапеции
Средняя линия параллельна основаниям
трапеции.
Средняя линия равна полусумме оснований
трапеции.
Средняя линия (и только она) делит пополам
любой отрезок, заключенный между
основаниями трапеции.
Эти теоремы справедливы и для средней
линии треугольника.
Задача 6

5.

Свойство медианы
в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике медиана,
проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
Обратная теорема
Если в треугольнике одна из медиан равна
половине стороны, к которой она проведена,
то этот треугольник прямоугольный.
Задача 5

6.

Свойство биссектрисы
внутреннего угла треугольника
Биссектриса внутреннего угла треугольника
делит сторону, к которой она проведена, на
части, пропорциональные прилежащим
сторонам. C
1
A
2
АС AD
СВ DB
D
АС CB
AD DB
B

7.

Метрические соотношения
в прямоугольном треугольнике
a b c
2
А
bc
2
2
h ac bc
2
c
H
a c ac
2
ac
b
b c bc
h
С
2
a
В
a b
h
c

8.

Определение вида треугольника
по его сторонам
Пусть а, b и с – стороны треугольника,
причем с - наибольшая сторона, тогда
если с² < а² + b², то
треугольник остроугольный
b
а
с
Задача 9
если с² = а² + b², то
треугольник прямоугольный
если с² > а² + b², то
треугольник тупоугольный

9.

Метрические соотношения в параллелограмме
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма
равна сумме квадратов всех его сторон:
d d 2a 2b
2
1
а
B
2
2
2
C
d2
b
b
d1
Задача 3
A
а
D
2

10.

Обобщенная теорема подобия
Если два треугольника подобны, то любой
линейный элемент (или сумма линейных
элементов) одного треугольника относится к
соответствующему линейному элементу (или
сумме соответствующих линейных элементов)
другого треугольника как соответственные
стороны.
Соответственные
линейные
элементы:
медианы, высоты, биссектрисы, периметры,
радиусы описанной и вписанной окружностей.
Задача 9

11.

Рассмотреть эти отрезки как стороны двух
треугольников и доказать, что треугольники
равны.
Рассмотреть эти отрезки как стороны одного
треугольника и доказать, что треугольник
равнобедренный.
Заменить отрезок а равным отрезком а1 ,
отрезок b равным отрезком b1 и доказать
равенство отрезков а1 и b1.

12.

Проведение прямой, параллельной или
перпендикулярной одной из имеющихся.
Удвоение медианы треугольника с целью
достроить треугольник до параллелограмма.
Проведение вспомогательной биссектрисы.
Дополнительные построения, связанные с
окружностью.

13.

Две взаимно перпендикулярные прямые
пересекают стороны АВ, ВС, CD, AD квадрата
ABCD в точках E, F, K, L соответственно.
Докажите, что ЕК=FL.
B
F
C
K
E
A
L
D
Нужный факт

14.

Две взаимно перпендикулярные прямые
пересекают стороны АВ, ВС, CD, AD квадрата
ABCD в точках E, F, K, L соответственно.
Докажите, что ЕК=FL.
B
F
C
B
F
C
K
K
E
E
A
L
D A
L
D
Нужный факт

15.

Две взаимно перпендикулярные прямые
пересекают стороны АВ, ВС, CD, AD квадрата
ABCD в точках E, F, K, L соответственно.
Докажите, что ЕК=FL.
B
F
C
B
F
C
K
K
E
E
A
L
D
A
L
D
Нужный факт

16.

На сторонах АВ и ВС треугольника ABC вне
его построены квадраты ABDE и BCKM.
Докажите, что отрезок DM в два раза больше
медианы BP треугольника ABC. MM
DD
B
KK
EE
Нужный факт
A
A
Р
Р
C
C

17.

На сторонах АВ и ВС треугольника ABC вне его построены квадраты
ABDE и BCKM. Докажите, что отрезок DM в два раза больше медианы
BP треугольника ABC.
M
D
B
K
E
A
Нужный факт
Р
C
F

18.

Стороны треугольника а, b, c. Вычислить
медиану mc, проведенную к стороне с.
C
C
a
b
a
b
mc
A
c
mc
B A
B
c
a
Нужный факт
b
P

19.

Доказать, что в любом треугольнике сумма
медиан меньше периметра, но больше ¾
B
периметра.
а
F
mb
E
М
mc
с
ma
A
D
b
C
Сначала докажем, что сумма медиан больше ¾
периметра.
Затем докажем, что сумма медиан меньше
периметра.
Нужный факт

20.

Сначала докажем, что сумма медиан больше ¾
периметра.
Рассмотрим АМС
B
2
2
АМ АЕ ma
3
3
2
2
МC CF mc
3
3
АC AМ MC
2
2
b ma mc
3
3
Нужный факт
а
F
mb
E
М
mc
с
ma
A
D
b
C

21.

Рассмотрим BМС: BC BМ MC
2
2
a mb mc
3
3
Рассмотрим ABМ: AB BМ AM
2
2
B
c mb ma
3
3
2
2
2
a b c 2 ( ma mb mc )
а
3
3
3 F
E
mb
4
a b c (ma mb mc ) с
3
М
mc
ma
3
(a b c) ma mb mc
4
A
D
b
3
ma mb mc (a b c)
4
C

22.

Докажем, что сумма медиан меньше периметра.
B
B
Рассмотрим BСК:
BК BС CК
2mb a c
2ma b c
2mc a b
аа
F
F
сс
m aa
m
A
mbb
m
EE
М
М
mcc
m
D
D
bb
2(ma mb mc ) 2(a b c)
ma mb mc a b c
К
CC

23.

Доказать, что в неравнобедренном
прямоугольном треугольнике биссектриса
прямого угла делит пополам угол между
медианой и высотой, проведенной из той же
вершины.
С
Нужный факт 1
Нужный факт 2
А
Н
D
M
В

24.

Доказать, что в неравнобедренном прямоугольном
треугольнике биссектриса прямого угла делит
пополам угол между медианой и высотой,
проведенной из той же вершины.
С
1.
как углы с взаимно
перпендикулярными
сторонами:
А
АС ВС , СН АВ
Н
D
2. СМ 1 АВ; СМ МВ; ;
2
3. HCD АCD ;
DCM DCB ;
В
M
HCD DCM
Доказано.

25.

В параллелограмме со сторонами а и b
проведены биссектрисы внутренних углов.
Найдите длины диагоналей четырехугольника,
образованного в пересечении биссектрис.
B
E
Q
C
L
К
M
N
A
Нужный факт
F
P
D

26.

АЕ - биссектриса угла А,
1.
ВР - биссектриса угла В
АВС+ BAD=180°
2 АВP+2 BAE=180°
Значит, АВP+ BAE=90°
ВКА=90°, т.е. биссектрисы АЕ и ВР
взаимно перпендикулярны
2. Докажите аналогично взаимную
перпендикулярность биссектрис АЕ и QD, BP и
B
E
CF, CF и QD
Q
C
3. Вывод.
L
KLMN –
К
M
четырехугольник с
N
прямыми углами, т.е.
прямоугольник. A
D
F
P

27.

4. Так как KLMN – прямоугольник, достаточно
найти длину KM.
5. Рассмотрим АВР.
АК – биссектриса и высота, значит АВР –
равнобедренный и АК – медиана.
6. АВ=АP = b, К – середина ВР.
Аналогично, М – середина QD.
B
E
Q
C
7. КМ делит пополам
отрезки BP и QD.
L
К
Значит КМ - отрезок
M
на средней линии
N
параллелограмма,
D
F
P
поэтому КМ AD. A
8. KMDP – параллелограмм, KM=PD = AD-AP =a-b

28.

Биссектрисы углов, прилегающих к боковой
стороне трапеции, пересекаются под
прямым углом в точке, лежащей на средней
линии трапеции.
B
E
Q
C
L
К
M
N
A
F
P
D

29.

Основным методом составления уравнений в
геометрических задачах является метод
опорного элемента.
Он заключается в том, что один и тот же элемент
(сторона, угол, площадь, радиус и т.д.)
выражается через известные и неизвестные
величины двумя различными способами и
полученные выражения приравниваются.
В качестве опорного элемента часто выбирается
площадь фигуры. Тогда говорят, что используется
метод площадей.

30.

Стороны треугольника а, b и с. Вычислить
высоту hc, проведенную к стороне с.
С
b
С
a
hc
А
x
а
hc
b
Н
x
c-x
Н
c
В
А
c
1
hc
(a b c)( a c b)(b c a)(b c a)
2c
В

31.

Если в задаче требуется найти отношение
каких-либо величин, то она решается методом
введения вспомогательного параметра.
В начале решения задачи какая-либо линейная
величина принимается как известная.
Обозначив ее буквой а, выражаем через нее те
величины, отношение которых требуется найти.
Тогда при составлении искомого отношения
вспомогательный параметр а сократится.

32.

В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны,
ВН высота. На стороне ВС взята точка D так,
что BD:DC=1:4. Найдите в каком отношении
отрезок AD делит высоту ВН.
B
Пусть ВD=a, тогда
DС=4a, BC=AВ=5а
Проведем НК AD,
тогда
НК – средняя линия
ADС, то
DK=KC=2a
A
D
M
K
H
C

33.

В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, ВН
высота. На стороне ВС взята точка D так, что
BD:DC=1:4. Найдите в каком отношении отрезок
AD делит высоту ВН.
В ВНК по теореме Фалеса
ВМ BD
МН DK
BD
a
DK 2a
BD 1
DK 2
A
BM 1
MH 2
B
D
M
K
H
C

34.

В треугольник со сторонами 10, 17 и 21 см,
вписан прямоугольник так, что две его вершины
находятся на одной стороне треугольника, а две
вершины - на двух других сторонах
треугольника. Найти стороны прямоугольника,
если известно, что его периметр равен 22,5 см.
B
Определим вид
треугольника.
212 ? 102 17 2
Значит, треугольник
тупоугольный.
Нужный факт
A
H
C

35.

В треугольник со сторонами 10, 17 и 21 см, вписан прямоугольник
так, что две его вершины находятся на одной стороне треугольника,
а две вершины - на двух других сторонах треугольника. Найти
стороны прямоугольника, если известно, что его периметр равен
22,5 см.
Тогда две вершины прямоугольника лежат на
большей стороне треугольника.
Найдем высоту ВН как в задаче 7.
B
B
ВН=8 см
Пусть ЕD=х, тогда
EF=11,25-x,
P
F
E
ВР=8-x
A
H
D H
K
C
C

36.

В треугольник со сторонами 10, 17 и 21 см, вписан прямоугольник
так, что две его вершины находятся на одной стороне треугольника,
а две вершины - на двух других сторонах треугольника. Найти
стороны прямоугольника, если известно, что его периметр равен
22,5 см.
ВEF ABC
EF BP
AC BH
11,25 x 8 x
21
8
x=6
B
P
F
D H
K
E
Ответ: стороны
6 см и 5,25 см
Нужный факт
A
C

37.

В треугольнике АВС известно, что угол А в два
раза больше угла С, сторона ВС на 2 см больше
стороны АВ, а АС=5 см. Найти АВ и ВС.
Проведем биссектрису AD угла А.
Тогда ВАD= DAC= АCB.
B
DAC – равнобедренный,
B
B
АD=DC.
A
D
5 см
C
AA
5 см
CC

38.

В треугольнике АВС известно, что угол А в два раза
больше угла С, сторона ВС на 2 см больше стороны АВ, а
АС=5 см. Найти АВ и ВС.
Т.к. ВАD= ВСA, B – общий, то АВD ABC
B
АВ BD AD
ВС AB AC
х+2-у
D
х
x
x 2 y y
x 2
x
5
y
x
x 2 5 ,
x 2 y y
x
5
5 x xy 2 y,
5 x 10 5 y xy
у
у
5 см
A
5 y 10 2 y
10
y
х 3 2
х 2 3
х 4
Ответ: АВ=4 см,
ВС=6 см
C