Подобные треугольники

1. Подобные треугольники.

Геометрия, 8 класс.
5klass.net

2. Урок 32. Пропорциональные отрезки.

Рассмотрим пропорцию: К
2 8
4 16
Х
Н
В
А
Отрезки называются
пропорциональными, если
равны отношения их длин.
КЕ АВ
НХ РТ
Е
Р
Решение задач:
№ 533 (устно)
№ 534.
Т

3. Свойство биссектрисы треугольника.

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на
отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
В
АК СК
АВ СВ
А
К
С
Решение задач: № 536(а), 538.
Домашнее задание: п.56, № 536(б), 537.

4. Урок 33. Подобные треугольники.

В
А
М
С
Р
К
Два треугольника называются подобными,
если
их углы соответственно равны, и стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим сторонам другого треугольника.
АВ ВС АС
k
МР РК МК
где k – коэффициент подобия.
Говорят, что ∆АВС ~ ∆МРК

5. № 541.

А
106
E
5,2
106
4,4
С
34
15,6
В
7,6
13,2
40
F
22,8
Решение задач: № 542.
Домашнее задание: п.56-57, № 540.
D

6. Урок 34. Теорема об отношении площадей подобных треугольников.

В
ТЕОРЕМА.
Отношение площадей двух подобных
треугольников равно квадрату
коэффициента подобия.
А
М
С
Р
К
S ABC
k2
S MPK
где k – коэффициент подобия.
Отношение периметров двух
подобных
треугольников равно коэффициенту
РABC
подобия.
РMPK
k
Решение задач: № 545, 549.
Домашнее задание: п. 56-58, № 544, 548.

7. Урок 35. Первый признак подобия треугольников.

ТЕОРЕМА.
В
Если 2 угла одного треугольника равны
соответственно двум углам другого треугольника,
то такие треугольники подобны.
Доказательство: Так как углы А=А1 и С=С1, то угол
В=В1.
А
А1
С
В1
С1
Так как угол одного треугольника равен углу
другого треугольника, то площади этих
треугольников относятся как произведения
сторон, заключающих эти углы.
S ABC
S A1 B1C1
AB AC
;
A1 B1 A1C1
S ABC
S A1 B1C1
BC AC
;
B1C1 A1C1
AB
BC
;
A1 B1
B1C1
S ABC
AB BC
;
S A1 B1C 1
A1 B1 B1C1
AB
BC
AC
A1 B1
B1C1
A1C1
Следовательно, ∆АВС ~ ∆А1В1С1

8. № 550.

а
x
8
а
12
6
y
10
20
8
Домашнее задание: п. 59, № 553, 561.

9. Урок 36. Первый признак подобия треугольников.

№ 551(а)
B
C
7
4
10
A
?
E
8
D
?
F

10. № 552(а)

A
B
4
10
D
O
25
C

11. № 557(в).

D
B
12
A
C
E
Домашнее задание: стр.160, вопросы 15,

12. Урок 37. Второй признак подобия треугольников.

В1 Самостоятельная работа: стр.120, вариант А1,А2, №1.
С1
А
1
В
А
С
1
2
В2
ТЕОРЕМА. Если 2 стороны одного
треугольника пропорциональны двум
сторонам другого треугольника и углы,
заключенные между этими сторонами равны,
то такие треугольники подобны.
Доказательство:
Достаточно доказать, что углы С = С1.
Рассмотрим ∆АВ2С, у которого углы 1=А1, 2=С1.
∆А1В1С1 ~∆АВ2С по 2 углам, следовательно
АС
АВ2
АС
АВ
; но
А1С1 А1 В1
А1С1 А1 В1
Значит АВ2 = АВ и ∆АВ2С = ∆АВС по 2 сторонам
и углу между ними => угол С=2, но угол 2=С1 =>
угол С1 = С => ∆А1В1С1 ~∆АВС по 2 углам

13. Задача 1.

O
6
9
B
A
12
15
5
D
?
C

14. Задача 2.

D
?
1 часть
5
Домашнее
задание:
C
O
п. 59, 60, № 559.
15
3 части
A
?
B

15. Задача.

В
Задача.
Р
К
А
М
С
Стороны треугольника АВС в 2,5 раза больше сторон
треугольника КРМ, углы В = Р, АС + КМ = 4,2. Найти
АС и КМ.

16. Урок 38. Третий признак подобия треугольников.

ТЕОРЕМА. Если 3 стороны одного
треугольника пропорциональны трем
сторонам другого треугольника, то такие
треугольники подобны.
Доказательство:
Достаточно доказать, что углы А = А1.
Рассмотрим ∆АВ2С, у которого углы 1=А1, 2=С1.
∆А1В1С1 ~∆АВ2С по 2 углам, следовательно
В1
С1
А
1
В
А
С
1
2
АВ2 В2С
СА
А1 В1 В1С1 С1 А1
Но мы знаем, что
АВ
ВС
СА
А1 В1 В1С1 С1 А1
В2
Значит АВ2 = АВ, СВ2=СВ и ∆АВ2С = ∆АВС по 2
сторонам и углу между ними => угол А=1, но
угол
1=А1 => угол С1 = С => ∆А1В1С1 ~∆АВС по 2
признаку

17. Задачи.

1.
2.
Подобны ли ∆АВС и ∆КРМ, если АВ = 1м, АС = 2м, ВС = 1,5 м,
КР = 8 дм, КМ = 16 дм, РМ = 12 дм.
Стороны треугольника равны 0,8 м, 1,6 м, 2 м. Найти стороны
подобного ему треугольника, периметр которого равен 5,5 м.
Домашнее задание: п. 59-61, № 560.

18. Математический диктант.

1.
2.
3.
4.
5.
Третий признак подобия
треугольников.
Второй признак подобия
треугольников.
У двух треугольников по одному
равному углу. Какого условия
недостает, чтобы треугольники
были подобны по 1 признаку?
Стороны одного треугольника
равны 3 см, 6 см и 7 см, а 2
стороны подобного ему
треугольника равны 15 см и 35
см. Найти третью сторону.
Соответствующие катеты двух
подобных треугольников 6 дм и
18 дм. Найти гипотенузу
меньшего треугольника, если
гипотенуза большего 27 дм.
1.
2.
3.
4.
5.
Первый признак подобия
треугольников.
Третий признак подобия
треугольников.
У двух треугольников по одному
равному углу. Какого условия
недостает, чтобы треугольники
были подобны по 2 признаку?
Соответствующие катеты двух
подобных треугольников 5 дм и
10 дм. Найти гипотенузу
большего треугольника, если
гипотенуза меньшего 7 дм.
Стороны одного треугольника
равны 15 см, 35 см и 30 см, а 2
стороны подобного ему
треугольника равны 6 см и 7 см.
Найти третью сторону.

19. Ответы.

1.
2.
3.
4.
5.
По 3 пропорциональным сторонам.
По 2 пропорциональным сторонам и углу
между ними.
Пара равных углов.
30 см.
9 дм.
1. По 2 равным углам.
2. По 3
пропорциональным
сторонам.
3. Пропорциональност
ь сторон угла.
4. 14 дм.
5. 3 м.

20. Подобие прямоугольных треугольников.

1.
2.
3.
Два прямоугольных треугольника подобны,
если:
У них есть по равному острому углу.
Катеты одного треугольника
пропорциональны катетам другого
треугольника.
Гипотенуза и катет одного треугольника
пропорциональны гипотенузе и катету
другого треугольника.

21. Задача.

B
C
15
18
12
O
10
D
A
Доказать, что ABCD – трапеция.

22. № 554.

M
Домашнее
задание:
п. 59-61,
Стр. 160,
вопросы 1-7,
задача
A
B
C
5
3,6
3,9
8
D
Задача. Продолжение боковых сторон АВ и CD трапеции
ABCD пересекаются в точке Е. Найти стороны ∆АЕD,
если АВ = 5 см, ВС = 10 см, АD = 15 см, СD = 8 см.

23. Урок 39. Средняя линия треугольника.

В
К
А
Р
С
ТЕОРЕМА.
Средняя линия треугольника
параллельна одной из его сторон и
равна половине этой стороны.
Доказательство:
∆АВС ~ ∆КВР, так как угол В-общий, а
стороны АВ и КВ, СВ и РВ
пропорциональны => угол А=ВКР, но это
соответственные углы => КР ll АС.
Средней линией
треугольника называется
КВ КВ 1 ВР 1
КР 1
1
;
КР АС
отрезок, соединяющий
АВ 2 КВ 2 ВС 2
АС 2
2
середины двух его
сторон.
ТЕОРЕМА. Медианы
треугольника
пересекаются в одной
точке, которая делит
каждую медиану в
отношении 2:1, считая от
вершины.

24. Решение задач.

№ 564.
№ 570.
В
8
M
5
7
С
18
O
А
Домашнее задание: п. 62, № 566.
D

25. Математический диктант.

1.
2.
3.
4.
Две стороны треугольника
соединили отрезком,
непараллельным третьей
стороне. Является ли этот отрезок
средней линией треугольника?
Сторона АВ ∆АВС равна 6 см.
Чему равна средняя линия
треугольника, параллельная этой
стороне?
Точки М, Р и О – середины сторон
∆АВС. Найти стороны ∆АВС,
если стороны ∆МРО равны 3 см,
4 см и 5 см.
Концы отрезка АВ лежат на двух
сторонах треугольника, а длина
этого отрезка равна половине
третьей стороны. Обязательно ли
этот отрезок является средней
линией треугольника?
1.
2.
3.
4.
Точки А и В являются
серединами двух сторон
треугольника. Как называется
отрезок АВ?
Средней линией ∆АВС,
параллельная стороне ВС, равна
4 см. Найти сторону ВС.
Точки А, В, С – середины сторон
∆МРО. Найти периметр ∆АВС,
если отрезки МР, РО и МО
равны 3 дм, 4 дм и 5 дм.
Концы отрезка КР лежат на двух
сторонах треугольника, он
параллелен третьей стороне
треугольника и равен ее
половине. Является ли КР
средней линией?

26. Ответы.

1.
2.
3.
4.
Нет
Средняя линия
24 см
Нет
1.
2.
3.
4.
Средняя линия
8 см
6 дм
Нет

27. Задачи.

1. Дано:
2. Дано:
РАВС= 12 см
AD=2BC, MB=MK,
Найти: РМРО
NC=NK, BC=6 см
В
Р
Найти PQ
B
C
6
P
Q
M
N
D
A
О
3. Дано:
А
С
М
АС=10см, BD=8см
Найти РMNPK
M
B
N
C
A
K
P
D

28. Урок 40. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

С
b
h
a
с
А
bc
Н ac В
Высота прямоугольного
треугольника, проведенная
из вершины прямого угла,
делит треугольник на 2
подобных прямоугольных
треугольника, каждый из
которых подобен данному
треугольнику.
• Признак подобия прямоугольных
треугольников. Два прямоугольных
треугольника подобны, если у них есть
по равному острому углу.
• Отрезок XY называется средним
пропорциональным (средним
геометрическим) для отрезков АВ и CD,
если XY AB CН
• Свойство 1. Высота прямоугольного
треугольника, проведенная из вершины
прямого угла, есть среднее
пропорциональное между проекциями
катетов на гипотенузу.
СН АН ВН
Свойство 2. Катет прямоугольного
треугольника есть среднее
пропорциональное между гипотенузой и
проекцией этого катета на гипотенузу.
АС АВ АН ;
ВС АВ ВН

29.

• Решение задач: № 572, 575, 577.
• Домашнее задание:
стр.160, вопросы 8-11, принести циркуль,
№ 576, 578-в общую тетрадь.
• Проверочная работа.
стр. 124, вариант А1, А2,
задачи 1, 2.

30. Урок 42. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

В
• Синусом острого угла прямоугольного
β
α
А
С
BC
sin
AB
cos
AC
AB
BC
tg
AC
треугольника называется отношение
противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинусом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение
прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенсом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение
противолежащего катета к прилежащему.
• Тангенс угла равен отношению синуса к
косинусу этого угла.
BC
sin A
BC
AB
tgA
AC
cos A
AC
AB

31. Основное тригонометрическое тождество.

sin 2 cos 2 ?
BC 2 AC 2 BC 2 AC 2 AB 2
1
2
2
2
2
AB
AB
AB
AB
sin 2 cos 2 1
Решение задач: № 591(а,б), 592(а,в,д), 593(а,в).
Домашнее задание: п.66, № 593(б,г), 592(б,г,е), 591(в,г).

32. Урок 43. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°.

BC
В
60°
30°
А
С
1
AB,
2
cos A cos 30
tg 30
sin 30
cos 30
cos B cos 60
sin 60
1 1
4
sin 60
tg 60
cos 60
1
AB
1
2
;
AB
2
3
3
1 1
;
4
4
2
1
2 1 ;
3
3
2
1 AB
BC
1
2
;
AB
AB
2
3
3
;
4
2
BC
sin A sin 30
AB
3
2
1
2
3;

33. Урок 43. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°.

А
Пусть АС = ВС = а, тогда
45°
АВ а 2 а 2 2а 2 а 2 ;
а
С
а
В
BC
a
1
2
sin 45
;
AB a 2
2
2
AC
a
1
2
cos 45
;
AB a 2
2
2
sin 45
tg 45
1.
cos 45

34. Решение задач.

1.
2.
3.
4.
Найти площадь равнобедренного прямоугольного
треугольника с основанием 10 см и углом при основании
45°.
Найти катеты прямоугольного треугольника, гипотенуза
которого 2 см, один из острых углов 30°.
В треугольнике АВС угол А=45°, угол С=60°, ВС=2 см.
Найти АС.
№ 600.
Домашнее задание: п. 66, 67, № 602.

35. Контрольная работа № 4.

1.
2.
3.
Средняя линия равнобедренного треугольника,
параллельная боковой
стороне, равна 13 см, а
медиана, проведенная к
основанию - 24 см. Найти
среднюю линию, параллельную основанию
треугольника.
Найти sin α и tg α, если
cosα=8/17.
Найти синус, косинус
тангенс большего острого
угла прямоугольного
треугольника с катетами 7
см и 24 см.
1.
2.
3.
Средняя линия равнобедренного треугольника,
параллельная основанию,
равна 16 см, а биссектриса, проведенная к
основанию - 30 см.
Найти среднюю линию,
парал-лельную боковой
стороне треугольника.
Найти cos α и tg α, если
sinα=5/12.
Найти синус, косинус
тангенс меньшего острого
угла прямоугольного
треугольника с катетом
40 см и гипотенузой 41
см.