Подобные треугольники

1. ПОДОБИЕ В ГЕОМЕТРИИ

ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

2. Пропорциональные отрезки

• Отношением
отрезков называется
отношение их длин.
• Отрезки AB и CD
пропорциональны
отрезкам A1B1 и
C1D1,, если AB A B
CD
B
A
D
C
AB
CD
A
A1
B
С
D
B1 С1
1 1
C1D1
ПРИМЕР
D1

3. ПРИМЕР

• Даны два прямоугольных треугольника
Стороны ΒC и CA пропорциональны MN и MK,
так как
B
5
3
C
A
4
BC
3
MN 15
AC
4
и
MK 20
т.е.
BC AC 1
MN MK 5
N
?
15
M
K
20
НАЙДИТЕ ГИПОТЕНУЗУ БОЛЬШЕГО
ТРЕУГОЛЬНИКА.

4. Пропорциональность отрезков

• Понятие пропорциональности вводится для
любого числа отрезков.
B
например
5
3
C
A
BC AC AB
MN MK NK
4
N
25
15
M
K
20

5. Подобные фигуры

Предметы одинаковой
формы, но разных
размеров
Фотографии, отпечатанные
с одного негатива, но с
разными увеличениями;
Здание и его макет
Планы,
географические
карты одного и того
же района,
выполненные в
разных масштабах.

6. Подобные фигуры

• В геометрии фигуры одинаковой формы
называют подобными фигурами
Подобными
являются любые
два квадрата
Подобными
являются любые
два круга
два куба
два шара

7. Подобные треугольники

• Даны два треугольника AΒC и A1Β1C1,
у которых A = A1, Β = Β1, C = C1.
Стороны AΒ и A1Β1 , AC и A1C1 , ΒC и Β1C1,
лежащие против равных углов, называют
сходственными
Β1
Β
A
C
A1
C1

8. Определение

• Два треугольника называются подобными,
если их углы соответственно равны и стороны
одного треугольника пропорциональны
сходственным сторонам другого.
Β
ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1
A
C
A1
Β1
A = A1, Β = Β1, C = C1.
AB
BC
AC
A1B1 B1C1 A1C1
C1

9. Коэффициент подобия

Β
ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1
AB
BC
AC
k
A1B1 B1C1 A1C1
A
Β1
C
A1
k – коэффициент подобия.
• Число k , равное отношению сходственных
сторон, называется коэффициентом подобия.
C1

10. Дополнительные свойства

Отношение высот подобных треугольников,
проведенных к сходственным сторонам,
равно коэффициенту подобия.
Отношение медиан подобных треугольников,
проведенных к сходственным сторонам,
равно коэффициенту подобия.
Отношение биссектрис подобных
треугольников, проведенных к сходственным
сторонам, равно коэффициенту подобия.

11. Отношение периметров

Β
Β1
ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1
AB
BC
AC
k
A1B1 B1C1 A1C1
PABC
k
PA1B1C1
A
C
A1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
• Отношение периметров подобных
треугольников равно
• коэффициенту подобия.
C1

12. Отношение периметров

ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1
Β
Β1
A
AB
BC
AC
k
A1B1 B1C1 A1C1
AB kA1B1
C
A1
C1
BC kB1C1
AC kA1C1
PABC
AB BC AC
kA1B1 kB1C1 kA1C1
PA1B1C1 A1B1 B1C1 A1C1
A1B1 B1C1 A1C1
Выносим общий множитель за скобку и
сокращаем дробь.
PABC
k
PA1B1C1

13. Отношение площадей

Β
Β1
ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1
AB
BC
AC
k
A1B1 B1C1 A1C1
A
• Отношение площадей
подобных треугольников
равно квадрату
коэффициента подобия.
C
A1
S ABC
2
k
S A1B1C1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
C1

14. Отношение площадей

Пусть ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1,
коэффициент подобия k
AB
BC
AC
k
A1B1 B1C1 A1C1
Β
Β1
A
A = A1, по теореме об отношении
площадей треугольников, имеющих по
равному углу, имеем
C
A1
SABC
AB AC
AB AC
k k k2
SA1B1C1 A1B1 A1C1 A1B1 A1C1
C1

15. Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника
делит противоположную
сторону на отрезки,
пропорциональные
прилежащим сторонам
треугольника.
BD DC
или
AB AC
A
ПРИМЕР
B
BD AB
DC AC
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
D
C

16. Свойство биссектрисы треугольника

A
2
1
H
ΔABD и ΔACD имеют
общую высоту AH
S ABD DB
S ACD DC
B
ИМЕЕМ
D
BD AB
DC AC
C
ΔABD и ΔACD имеют
равные углы 1 = 2
S ABD AB AD AB
S ACD AD AC AC

17. Свойство биссектрисы треугольника

Дано: ΔABC
AD – биссектриса
AB = 14 см
BC = 20 см
AC = 21 см
Найти: BD,CD.
Решение:
A
1
B
D
20см
2
C

18. Свойство биссектрисы треугольника

A
1
B
D
20см
2
Решение:
Пусть BD = x см,
тогда CD = (20 – x) см.
По свойству биссектрисы
треугольника BD DC
AB AC
имеем
x
20 x
C
14
21
Решая уравнение, получим х = 8
BD = 8 см, CD = 12 см.

19. Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников.
(по двум углам)
Второй признак подобия треугольников.
(по углу и двум пропорциональным сторонам)
Третий признак подобия треугольников.
(по трем пропорциональным сторонам)

20. Первый признак подобия треугольников.

Если два угла одного треугольника
соответственно равны двум углам
другого треугольника, то такие
треугольники подобны.
C1
C
A
B
A1
B1

21. Первый признак подобия треугольников.

Дано:
ΔABC и ΔA1B1C1,
A = A1,
B = B.
Доказать:
ΔABC ~ ΔA1B1C1
Доказательство:
C
A
B
C1
A1
B1

22. Первый признак подобия треугольников.

C
A
A1
C1B
Доказательство:
A = A1, B = B1.
C = 180º – A – B,
C1 = 180º – A1 – B1.
C = C1
Таким образом углы
B1 треугольников
соответственно равны.

23. Первый признак подобия треугольников.

Доказательство:
A = A1,
B = B1.
SABC
AB AC
SA1B1C1 A1B1 A1C1
SABC
AB BC
SA1B1C1 A1B1 B1C1
Имеем BC AC
B1C1
A1C1
Аналогично, рассматривая равенство углов
C= C1, A= A1, получим
BC
AB
B1C1 A1B1
Итак, сходственные стороны пропорциональны.

24. Второй признак подобия треугольников.

Если две стороны одного треугольника
пропорциональны двум сторонам
другого треугольника и углы,
заключенные между этими сторонами,
равны, то такие треугольники подобны.
Β
A
Β1
C
A1
AB
AC
A1B1 A1C1
C1

25. Второй признак подобия треугольников.

Дано:
ΔABC и ΔA1B1C1,
A = A1,
Β
Β1
A
AB
AC
A1B1 A1C1
C
A1
C1
Доказать:
ΔABC ~ ΔA1B1C1
Доказательство:

26. Второй признак подобия треугольников.

С
Доказательство:
Достаточно доказать, что B = B1.
A
1
2 B
C1
С2
A1
ΔABC2, 1= A1, 2= B1,
ΔABC2 ~ ΔA1B1C1 по двум углам.
AB
AC2
(из подобия).
A1B1 A1C1 AB
AC
По условию
A1B1 A1C1
AC=AC2.
B1
ΔABC=ΔABC2, т.е. B = B1.

27. Третий признак подобия треугольников.

Если три стороны одного треугольника
пропорциональны трем сторонам
другого треугольника, то такие Β
1
треугольники подобны.
Β
A1
A
C
AB
BC
AC
A1B1 B1C1 A1C1
C1

28. Третий признак подобия треугольников.

Дано:
ΔABC и ΔA1B1C1,
Β1
A1
C1
Β
A
AB
BC
AC
A1B1 B1C1 A1C1
Доказать:
ΔABC ~ ΔA1B1C1
Доказательство:
C

29. Третий признак подобия треугольников.

С
A
1
Доказательство:
Достаточно доказать, что A= A1
ΔABC2, 1= A1, 2= B1,
2 B
С2
A1
ΔABC2 ~ ΔA1B1C1 по двум углам.
AB BC2 AC2
Отсюда
Β1
A1B1 B1C1 A1C1
По условию AB BC
AC
A1B1 B1C1 A1C1
ΔABC=ΔABC2 по трем
сторонам, т.е. A = A1
C1

30. Разминка

1
• Отрезки AB и CD пропорциональны
отрезкам MN и PK.
• Найдите MN,
если AB = 3, CD = 4, PK = 2.
AB MN
CD PK
3 MN
4
2
MN = 1,5

31. Разминка

2
• Даны два подобных прямоугольных
треугольника.
• Коэффициент подобия 1,5
• Стороны одного из них 3, 4 и 5.
• Найдите гипотенузу другого.
5 · 1,5 = 7,5
7,5

32. Разминка

3
• По данным на
рисунке найдите х.
х
12
5
х
12
5
4
4
х = 15

33. Разминка

4
• Длины двух окружностей 2π и 8π.
• Найдите отношение их радиусов.
2π : 8π = 1 : 4
0,25

34. Разминка

5
• Отношение площадей двух квадратов
равно 9 : 1.
• Найдите сторону большего их них, если
сторона меньшего равна 2.
k2 = 9, k = 3
Коэффициент подобия
3·2=6
сторона большего квадрата
6

35. Решение задач

Пропорциональные
отрезки
1
2
3
Свойство
биссектрисы
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Определение
подобных
треугольников
Отношение
периметров
подобных фигур
Отношение
площадей подобных
фигур

36. 1 задача

Отрезки AB и CD пропорциональны
отрезкам EF и MN.
Найдите EF,
если AB = 5 см, CD = 80 мм, MN = 1 дм.

37. 4 задача

B
В треугольнике АВС
АС = 6 см,
1
2
ВС = 7 см,
AB = 8 см,
A
D
C
BD – биссектриса.
Найдите, AD, CD.

38. 7 задача

Треугольник со сторонами 2 см, 3 см, 4 см
подобен треугольнику
со сторонами 5 мм, 7,5 мм и 1 см.
Найдите коэффициент подобия.

39. 10 задача

Сходственные стороны подобных
треугольников относятся как 1 : 3.
Найдите периметр большего
треугольника, если периметр
меньшего 15 см.

40. 13 задача

ΔABC ~ ΔA1B1C1 ,
AB : A1B1 = k = 4
SΔABC= 48 м2.
Найдите площадь треугольника A1B1C1 .

41. 2 задача

B
C
O
A
10
D
В параллелограмме
ABCD диагонали
пересекаются в точке О,
CD = 10 см.
Найдите периметр
параллелограмма, если
BC
AC
CD OC

42. 5 задача

B
M
12
A
18
C
Основание
равнобедренного
треугольника равно 18 мм,
а биссектриса делит
боковую сторону на
отрезки, из которых
прилежащий к основанию
равен 12 мм. Найдите
периметр треугольника

43. 8 задача

Треугольники KPF и ЕМТ подобны, причем
T
M
40°
E
P
20°
F
K
KP
PF
KF
ME MT ET
F = 20°, E = 40°.
Найдите остальные
углы этих
треугольников.

44. 11 задача

Периметры подобных треугольников
12 мм и 108 мм соответственно.
Стороны одного из них 3 мм, 4 мм и 5 мм.
Найдите стороны другого и
определите его вид.

45. 14 задача

Площади двух подобных треугольников
равны 16 см2 и 25 см2.
Одна из сторон первого треугольника
равна 2 см.
Найдите сходственную ей сторону
второго треугольника.

46. 3 задача

В треугольнике ABC
B
точка K лежит на стороне
10
АС. Площади
треугольников АВK и
KВС относятся
.
A
K
C
как 1 : 3,
ВС = 10 см. Найдите AC ,
BC
AK
если
AC KC

47. 6 задача

B
AD = 4
1
BC = 5
2
AB + DC = 12
Найти AB, DC, AC
4
A
D
C

48. 9 задача

На рисунке
B
ΔВЕС ~ ΔАВС,
АЕ = 16 см,
A
C
16
E
9
СЕ = 9 см. Углы
ABC и ВЕС тупые.
Найдите ВС.

49. 12 задача

Масштаб плана 1 : 1000.
Какова длина ограды участка,
если на плане размеры
прямоугольника,
изображающего участок 2 см х 5 см.

50. 15 задача

Периметры подобных треугольников
относятся как 2 : 3,
сумма их площадей равна 260 см2.
Найдите площадь каждого
треугольника.

51. ЗАДАЧИ

1.
Диагонали трапеции ABCD пересекаются
в точке O. Площади треугольников BOC
и AOD относятся как 1 : 9. Сумма
оснований BC и AD равна 4,8 см.
Найдите основания трапеции.
Решение:

52. Решение

B
C
2
4
3
O
1
A
D
Рассмотрим ΔAOD и
ΔBOC:
1= 2 (накрест лежащие
при AD || BC, и секущей
AC;
3= 4 (вертикальные)
ΔAOD ~ ΔBOC (по двум
углам)
AO OD AD
=k
OC OB BC

53. Решение

B
C
2
4
3
O
1
D
A
Ответ:
S AOD
9
2
.
k
S BOC
1
k=3
AD + BC =
= 3BC + BC = 4BC
AD + BC = 4,8см
(по условию)
BC = 1,2 см
AD = 3,6 см
BC = 1,2 см AD = 3,6 см

54. ЗАДАЧИ

B
2,5
4
20
A
5
C
D
E
16
10
F
2.
Докажите, что треугольники,
изображенные на рисунке, подобны, и
выясните взаимное положение прямых
CB и DF.
Решение:

55. Решение

B
2,5
4
20
A
5
C
D
E
16
10
Отсюда
BС AC AB
DF DE EF
F
ΔABC~ΔDEF
по трем
пропорциональным
сторонам
Найдем
отношение
сходственных
сторон данных
треугольников
AB 2,5
0,25
EF 10
AC 5
0,25
ED 20
BС 4
0,25
DF 16

56. Решение

B
.
E
1
A
C
D
2
ΔABC~ΔDEF
Соответственно
A = E
B = F
ACB = EDF
F
Рассмотрим
прямые BC и DF,
секущую AE
1 = 2
(внешние накрест
лежащие)
BC || DF.

57. ЗАДАЧИ

3.
Отрезки AB и CD пересекаются
AO DO
в точке O, причем
.
OB OC
Докажите, что CBO = DAO.
Решение:

58. Решение

Рассмотрим ΔAOD и ΔCOB
DOA = COB
(вертикальные).
AO DO .
D
A
O
OB
B
C
OC
ΔAOD ~ ΔCOB по углу и
двум пропорциональным
сторонам.
CBO = DAO (из подобия).

59. ЗАДАЧИ

4.
В треугольнике ABC
AB = 4, BC = 6, AC = 7.
Точка E лежит на стороне AB.
Внутри треугольника взята точка M так,
что MB = 5,25, ME = 4,5, AE = 1.
Прямая BM пересекает AC в точке P.
Докажите, что ΔAPB равнобедренный.
Решение:

60. Решение

.
Рассмотрим ΔBEM и ΔABC
BE = AB − AE = 4 – 1 = 3
BE : AB = 3 : 4 = 0,75
EM : BC = 4,5 : 6 = 0,75
BM : AC = 5,25 : 7 = 0,75,
т.е. стороны треугольников
пропорциональны
A
4 E
1
B
4,5
5,25
M
7
P
6
C

61.

Решение
ΔBEM ~ ΔABC по трем
пропорциональным сторонам.
Следовательно, BME = AСB
EBM = BAC
BEM = ABC.
Рассмотрим треугольник ABP:
EBM = BAC, т.е. ABP = BAP.
ΔABP – равнобедренный, что и
требовалось доказать.

62. ЗАДАЧИ

5.
Диагональ AC параллелограмма ABCD
равна 90.
Середина M стороны AB соединена с
вершиной D.
Отрезок MD пересекает AC в точке O.
Найдите отрезки AО и CО.
Решение:

63. Решение

C
B
M
A
O
D
Рассмотрим
ΔAOM и ΔCОD
AOM = CОD
(вертикальные),
MAO = ОCD
(накрест лежащие при
AB || DC и секущей AC).
Отсюда ΔAOM ~ ΔCОD
по двум углам.

64. Решение

C
B
M
A
O
D
AO OM AM
1
OC OD CD
2
.
AM = ½ AB (по условию)
AB = CD (ABCD параллелограмм),
AM : CD = 1 : 2
ΔAOM ~ ΔCОD
т.е. AO = 0,5CО
AO = ⅓AC = ⅓·90 = 30
CO = ⅔AC = ⅔·90 = 60

65. ТЕСТ

Решите задачи, отметьте нужные ячейки
А
1
2
3
4
5
Б
В
Г

66. ТЕСТ

1. По данным
рисунка х равен
7
х
А) 7
Б) 14
В) 3,5
Г) 14/3

67. ТЕСТ

2) По данным рисунка
периметр ΔABC
равен
В
3
2
А
4
С
А) 9
Б) 27
В) 36
Г) 18

68. ТЕСТ

3) По данным рисунка
отрезок BC равен
В
3
3
2,5
А
4
0,5
С
А) 3,75
Б) 7,5
В) 5
Г) 4,5

69. ТЕСТ

B
ТЕСТ
E
12
9
3
A
18
C
D
4
6
4) По данным рисунка площади данных
треугольников относятся
А) 3 : 1
Б) 9 : 1
В) 6 : 1
Г) 9 : 4
F

70. ТЕСТ

B
E
12
9
3
A
18
C
D
4
6
F
5) По данным рисунка прямые AB и DE
А) нельзя ответить
Б) пересекаются
В) параллельны

71. ТЕСТ

ОТВЕТЫ:
А
1
2
3
4
5
Б
В
Г