Подобие в геометрии. Подобные треугольники

1. ПОДОБИЕ В ГЕОМЕТРИИ

ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

2. Подобные фигуры

Предметы одинаковой
формы, но разных
размеров
Фотографии, отпечатанные
с одного негатива, но с
разными увеличениями;
Здание и его макет
Планы,
географические
карты одного и того
же района,
выполненные в
разных масштабах.

3. Подобные фигуры

• В геометрии фигуры одинаковой формы
называют подобными фигурами
Подобными
являются любые
два квадрата
Подобными
являются любые
два круга
два куба
два шара

4. Пропорциональные отрезки

• Отношением отрезков
называется отношение
их длин.
• Отрезки AB и CD
пропорциональны
отрезкам A1B1 и C1D1,,
если
AB A B
CD
1 1
C1D1
B
A
D
C
AB
CD
A
A1
B
С
B1 С1
D
D1

5. Пропорциональность отрезков

• Понятие пропорциональности вводится для
любого числа отрезков.
B
например
5
3
C
A
BC AC AB
MN MK NK
4
N
25
15
M
K
20

6. ПРИМЕР

• Даны два прямоугольных треугольника
Стороны ΒC и CA пропорциональны MN и MK,
так как
B
5
BC
3
MN 15
3
C
A
4
N
т.е.
?
15
M
K
20
и
AC
4
MK 20
BC AC 1
MN MK 5
НАЙДИТЕ ГИПОТЕНУЗУ БОЛЬШЕГО
ТРЕУГОЛЬНИКА.

7. Подобные треугольники

• Даны два треугольника AΒC и A1Β1C1,
у которых A = A1, Β = Β1, C = C1.
Стороны AΒ и A1Β1 , AC и A1C1 , ΒC и Β1C1, лежащие
против равных углов, называют сходственными
Β1
Β
A
C
A1
C1

8. Определение

• Два треугольника называются подобными, если их
углы соответственно равны и стороны одного
треугольника пропорциональны сходственным
сторонам другого.
Β
A
ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1
C
A1
Β1
A = A1, Β = Β1, C = C1.
AB
BC
AC
A1B1 B1C1 A1C1
C1

9. Коэффициент подобия

Β
ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1
AB
BC
AC
k
A1B1 B1C1 A1C1
A
Β1
C
A1
k – коэффициент подобия.
• Число k , равное отношению сходственных сторон,
называется коэффициентом подобия.
C1

10. Дополнительные свойства

Отношение высот подобных треугольников,
проведенных к сходственным сторонам, равно
коэффициенту подобия.
Отношение медиан подобных треугольников,
проведенных к сходственным сторонам, равно
коэффициенту подобия.
Отношение биссектрис подобных треугольников,
проведенных к сходственным сторонам, равно
коэффициенту подобия.

11. Отношение периметров

Β
PABC
k
PA1B1C1
A
Β1
C
A1
• Отношение периметров подобных
треугольников равно коэффициенту подобия.
C1

12. Отношение площадей

Β
SABC
2
k
SA1B1C1
A
C
A1
• Отношение площадей
подобных треугольников
равно квадрату
коэффициента подобия.
Β1
C1

13. Отношение площадей

SABC
AB AC
AB AC
2
k k k
SA1B1C1 A1B1 A1C1 A1B1 A1C1
Β1
Β
A1
A
C
C1

14. Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника
делит противоположную
сторону на отрезки,
пропорциональные
прилежащим сторонам
треугольника.
BD DC
AB AC
или
A
B
BD AB
DC AC
D
C

15. задача

• По данным на
рисунке найдите х.
х
12
5
х
12
5
4
4
х = 15

16. задача

• Отношение площадей двух квадратов
равно 9 : 1.
• Найдите сторону большего их них, если
сторона меньшего равна 2.
k2 = 9, k = 3
Коэффициент подобия
3·2=6
сторона большего квадрата
6

17. задача

B
В треугольнике АВС
АС = 6 см,
1
2
ВС = 7 см,
AB = 8 см,
A
D
C
BD – биссектриса.
Найдите, AD, CD.

18. задача

Треугольник со сторонами 2 см, 3 см, 4 см
подобен треугольнику со сторонами 5 мм,
7,5 мм и 1 см.
Найдите коэффициент подобия.

19. задача

Сходственные стороны подобных
треугольников относятся как 1 : 3.
Найдите периметр большего
треугольника, если периметр
меньшего 15 см.

20. задача

ΔABC ~ ΔA1B1C1 ,
AB : A1B1 = k = 4
SΔABC= 48 м2.
Найдите площадь треугольника A1B1C1 .

21. задача

B
M
12
A
18
C
Основание
равнобедренного
треугольника равно 18 мм,
а биссектриса делит
боковую сторону на
отрезки, из которых
прилежащий к основанию
равен 12 мм. Найдите
периметр треугольника

22. задача

Треугольники KPF и ЕМТ подобны, причем
T
M
40°
E
P
20°
F
K
KP
PF
KF
ME MT ET
F = 20°, E = 40°.
Найдите остальные
углы этих
треугольников.

23. задача

Периметры подобных треугольников
12 мм и 108 мм соответственно.
Стороны одного из них 3 мм, 4 мм и 5 мм.
Найдите стороны другого и
определите его вид.

24. задача

Площади двух подобных треугольников
равны 16 см2 и 25 см2.
Одна из сторон первого треугольника
равна 2 см.
Найдите сходственную ей сторону
второго треугольника.

25. задача

В треугольнике ABC
B
точка K лежит на стороне
10
АС. Площади
треугольников АВK и
KВС относятся
.
A
K
C
как 1 : 3,
ВС = 10 см. Найдите AC ,
BC
AK
если
AC KC

26. задача

B
AD = 4
1
BC = 5
2
AB + DC = 12
Найти AB, DC, AC
4
A
D
C

27. задача

На рисунке
B
ΔВЕС ~ ΔАВС,
АЕ = 16 см,
A
C
16
E
9
СЕ = 9 см. Углы
ABC и ВЕС тупые.
Найдите ВС.

28. задача

Периметры подобных треугольников
относятся как 2 : 3,
сумма их площадей равна 260 см2.
Найдите площадь каждого
треугольника.

29. ЗАДАЧИ

1.
Диагонали трапеции ABCD пересекаются в
точке O. Площади треугольников BOC и AOD
относятся как 1 : 9. Сумма оснований BC и
AD равна 4,8 см. Найдите основания
трапеции.
Решение:

30. Решение

B
Рассмотрим ΔAOD и ΔBOC:
1= 2 (накрест лежащие при
AD || BC, и секущей AC;
3= 4 (вертикальные)
ΔAOD ~ ΔBOC (по двум
углам)
C
2
4
3
O
1
A
D
=k
AO OD AD
OC OB BC

31. Решение

B
C
2
4
3
O
1
D
A
Ответ:
S AOD
9.
2
k
S BOC
1
k=3
AD + BC =
= 3BC + BC = 4BC
AD + BC = 4,8см
(по условию)
BC = 1,2 см
AD = 3,6 см
BC = 1,2 см AD = 3,6 см

32. ЗАДАЧИ

B
2,5
4
20
A
5
C
D
E
16
10
F
2.
Докажите, что треугольники, изображенные
на рисунке, подобны, и выясните взаимное
положение прямых CB и DF.
Решение:

33. Решение

B
2,5
4
20
A
5
C
D
E
16
10
Отсюда
BС AC AB
DF DE EF
F
ΔABC~ΔDEF
по трем пропорциональным
сторонам
Найдем
отношение
сходственных
сторон данных
треугольников
AB 2,5
0,25
EF 10
AC 5
0,25
ED 20
BС 4
0,25
DF 16

34. Решение

B
.
E
1
A
C
D
ΔABC~ΔDEF
Соответственно
A = E
B = F
ACB = EDF
2
F
Рассмотрим
прямые BC и DF,
секущую AE
1 = 2
(внешние накрест
лежащие)
BC || DF.

35. ЗАДАЧИ

3.
Отрезки AB и CD пересекаются
в точке O, причем
AO DO
.
OB OC
Докажите, что CBO = DAO.
Решение:

36. Решение

Рассмотрим ΔAOD и ΔCOB
DOA = COB (вертикальные).
.
D
A
AO DO
OBуглу OC
ΔAOD ~ ΔCOB по
и двум
O
B
C
пропорциональным сторонам.
CBO = DAO (из подобия).

37. ЗАДАЧИ

4.
В треугольнике ABC
AB = 4, BC = 6, AC = 7.
Точка E лежит на стороне AB.
Внутри треугольника взята точка M так,
что MB = 5,25, ME = 4,5, AE = 1.
Прямая BM пересекает AC в точке P.
Докажите, что ΔAPB равнобедренный.
Решение:

38. Решение

.
Рассмотрим ΔBEM и ΔABC
BE = AB − AE = 4 – 1 = 3
BE : AB = 3 : 4 = 0,75
EM : BC = 4,5 : 6 = 0,75
BM : AC = 5,25 : 7 = 0,75,
т.е. стороны треугольников
пропорциональны
A
4 E
1
B
4,5
5,25
M
7
P
6
C

39.

Решение
ΔBEM ~ ΔABC по трем
пропорциональным сторонам.
Следовательно, BME = AСB
EBM = BAC
BEM = ABC.
Рассмотрим треугольник ABP:
EBM = BAC, т.е. ABP = BAP.
ΔABP – равнобедренный, что и
требовалось доказать.

40. ЗАДАЧИ

5.
Диагональ AC параллелограмма ABCD равна
90.
Середина M стороны AB соединена с
вершиной D.
Отрезок MD пересекает AC в точке O.
Найдите отрезки AО и CО.
Решение:

41. Решение

C
B
M
A
O
D
Рассмотрим
ΔAOM и ΔCОD
AOM = CОD
(вертикальные),
MAO = ОCD (накрест
лежащие при AB || DC и
секущей AC).
Отсюда ΔAOM ~ ΔCОD
по двум углам.

42. Решение

C
B
M
A
O
D
AO OM AM
1
OC OD CD
2
.
AM = ½ AB (по условию)
AB = CD (ABCD параллелограмм),
AM : CD = 1 : 2
ΔAOM ~ ΔCОD
т.е. AO = 0,5CО
AO = ⅓AC = ⅓·90 = 30
CO = ⅔AC = ⅔·90 = 60

43. ТЕСТ

1. По данным рисунка х
равен
7
х
А) 7
Б) 14
В) 3,5
Г) 14/3

44. ТЕСТ

2) По данным рисунка
периметр ΔABC
равен
В
3
2
А
4
С
А) 9
Б) 27
В) 36
Г) 18

45. ТЕСТ

3) По данным рисунка
отрезок BC равен
В
3
3
2,5
А
4
0,5
С
А) 3,75
Б) 7,5
В) 5
Г) 4,5

46. ТЕСТ

B
ТЕСТ
E
12
9
3
A
18
C
D
4
6
4) По данным рисунка площади данных
треугольников относятся
А)
Б)
В)
Г)
3:1
9:1
6:1
9:4
F

47. ТЕСТ

B
E
12
9
3
A
18
C
D
4
6
5) По данным рисунка прямые AB и DE
А) нельзя ответить
Б) пересекаются
В) параллельны
F