Треугольники. Основные признаки и свойства треугольников

1. Треугольники

Выполнила ученик 7 «А» класса
Скапенков Данил

2.

Цель работы: обобщить и систематизировать
знания по теме «Треугольники».
Задачи:
Рассмотреть виды треугольников.
Доказать основные признаки и свойства
треугольников.
Показать использование знаний по теме при
решении задач.

3. Треугольник

простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3
стороны;
часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя
отрезками, попарно соединяющими эти точки;
замкнутая ломаная линия с тремя звеньями.

4. Элементы треугольника

Медиана
Биссектриса
Средняя линия
Высота
B
A
B
H2
M
M
K
N
C
A
A
D
BM= MC
AD=DC
AK=KB
B
C
∠ABM= ∠MBC
∠BCP= ∠PCA
∠CAN= ∠NAB
H1
P
BM= MA
AN=NC
MN // BC
BC=2·MN
H
C
BH AC
AH1 BC
CH2 AB

5. Виды треугольников по сторонам

Равнобедренный
Равносторонний
Р
В
М
H
К
1) Углы при основании равны;
2) Медиана является
биссектрисой и высотой.
А
С
1) Все углы равны 60°.
Разносторонний

6. Виды треугольников по углам

Тупоугольный
Прямоугольный
Остроугольный
Р
М
∠PMK=90°-прямой
К

7. Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников:
1. По двум сторонам и углу между ними.
2. По стороне и двум прилежащим к ней углам.
3. По трём сторонам.

8. Подобие треугольников

Признаки подобия треугольников:
1. По двум углам.
2. По двум сторонам и углу между ними.
3. По трём сторонам.

9. Площадь треугольника

S=
1
· h · a.
2
h
a
S ( п/у ) =
1
· a · b.
2
b
a
h1= h2 =>
S1
S2
=
AC
A1C1
.
S1
h1
A
∠1= ∠2 =>
S1
S2
S2
h1
C A1
AC·AB
= A1C1·A1B1
C1
B
B1
S1
S2
1
A
2
C
A1
C1

10. Задача

Вот задача индийского математика 12в. Бхаскары
На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его
ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой с
теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в
том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка
склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола,
прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика
высота?
Решение:
По теореме Пифагора находим СD:
2
2
2
CD = 3 + 4 = 9 + 16 =25 => CD= 5.
Высота тополя равна: CB+CA. Т.к.
CD=CB =>
AB=AC+CD= 3 + 5 = 8.
Ответ: высота тополя 8 футов.

11. Расстояние от инцентра треугольника до его вершин

Теорема 1: Биссектриса угла треугольника делит
противоположную сторону на отрезки, пропорциональные
соответствующим боковым сторонам.
А
c
b
С
L a
В
Следствие: Пусть AL-биссектриса ∠А в ΔАВС. Тогда отрезки CL и LB
находятся по формулам:
,
.

12.

Дано: ВК- биссектриса, СМ||ВК
Доказательство: Так как ВК – биссектриса АВС, то АВК= КВС. Далее,
АВК= ВМС, как соответственные углы при параллельных прямых, и
КВС= ВСМ, как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Отсюда
ВСМ= ВМС, и поэтому треугольник ВМС – равнобедренный, откуда ВС=ВМ.
По теореме о параллельных прямых, пересекающих стороны угла, имеем
АК/КС=АВ/ВМ=АВ/ВС, что и требовалось доказать.

13. Свойства медиан

Теорема: Если a, b, с- стороны ΔАВС (рис.34), ma, mb, mc- его медианы, проведенные к соответствующим сторонам, то справедливы формулы:
m2a =
m2b =
m2c =
2b 2 +2c 2 −a 2
4
2a 2 +2c 2 −b 2
4
2a 2 +2b 2 −c 2
4
,
,
.
B
D
ma
A
A1
C

14.

B
D
ma
A
m2a =
2b2 + 2c 2 − a2
4
A1
C

15.

Следствие 1: Если a, b, c- cтороны
ΔАВС,
ma, mb, mc- его медианы, проведенные к
соответствующим сторонам, то справедлива формула:
Следствие 2: Если a, b, c- cтороны
ΔАВС,
ma, mb, mc- его медианы, проведенные к
соответствующим сторонам, то справедливы формулы, выражающие строны треугольника через его
медианы:
a2 =
b2=
c2 =
Следствие 3: В треугольнике АВС ∠С=90 тогда и только тогда, когда

16.

Задача
Дано: в прямоугольном треугольнике медианы катетов 52 и 73.
Найти: SΔABC.
B
Решение:
Каждая из медиан катетов образует с прямым углом прямоугольный
треугольник. Обозначим длину половины каждого катета как a и b. Тогда, по
b
b
теореме Пифагора получим:
a2 + 4b2 = (73)2
b2 + 4a2 = (52)2 , откуда a2 = 73 - 4b2 , подставим выражение во второе
уравнение b2 + 4·( 73 - 4b2 ) = 52
b2 + 292 - 16b2 = 52
15b2 = 240 , b2 = 16 , b = 4
Соответственно, а2 = 73 - 4·16 = 9, а = 3.
Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны (2a и 2b) 8 и 6 см.
Откуда площадь прямоугольного треугольника равна
1
S = ·8·6 = 24 см2 .
2
Ответ: Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см2 .
C
a
a
A