Показательные уравнения

1. Показательные уравнения

2. 1).Представить выражение в виде степени с рациональным показателем:

1
3 5
1
2 3
4
5
1
5
2 2 ; 6 6 ; 16 16 2 ;
3
2
3
4
5
х х ; а а ;
1 1
4
х .
х
2
5
4
3
2
2
3
6 6 ;

3. 2).Вычислить:

1
2
1
4
2
3
3
4
1
2
9 3; 16 2; 121 11;
8 4; 81 27; 1268 1.
0

4. 3).Разложить на множители:

2
3
5 5 5 5 1 ; х х х 1 х
1
1
1
1
6 6
3
6
а а а а 1 ;
1 1
1 1
1
1
1
3 3
3
3 3
3 3
х у х z х у z .
Выносим степень с меньшим показателем!
1
2
1
2
1
2
2
3
1
3
;

5. Тема: «Решение показательных уравнений». Задачи урока:

Познакомиться с видами
показательных уравнений.
Рассмотреть способы решений
показательных уравнений различных
видов.
Отработать навыки и умения
решения показательных уравнений.

6.

I.Простейшие показательные уравнения вида
х
а).
а b.
у а , а 0, a 1.
х
Имеет один корень при b>0;
Не имеет корней при b 0.
c
Представим b в виде b а , имеем:
а а
х
с

7.

а b a a
х
x
c
по свойству
степеней с одинаковыми основаниями
решением уравнения является
равенство
Пример:
Ответ: 4.
хх = с.
2 16;
х
4
2 2 ;
х 4.

8.

а а
х
2).В уравнении
, левая и правая
части приведены к одному основанию и
решением уравнения является равенство х =
Т.к. а 0, разделим обе части уравнения
нах правую
часть:
х
а
а
а
х
х
0
1
а
1
а
а
а
а
а
х 0 х .
3).Очевидно, что уравнение
Пример: 6 х 3 5 36 ;
6
х 3
2
5
а
а
f ( x) .
6 ;
2
х 3 ;
5
f ( х)
2
х 3 .
5
2
3 .
5

9.

II. Показательные уравнения вида
f ( х)
а).
а
1,
На основании определения о нулевом показателе (а 0 =1) имеем
его решение:
Пример:
f ( x ) 0.
х 2 5 х 6
2
1;
2
х 5 х 6 0;
х1 2; х2 3. Ответ: 2 и 3.
b
f ( х)
f ( x)
б).
Уравнения такого вида решаются с
использованием теорем о возведении в
степень произведения и дроби и им
обратные, рассмотрим решение на примере:
а
,

10.

Пример 1:
2
Т.к.
х 2
х 2
Пример 2:
3 .
3 х 2 0,
х 2
х 2
2
3
х 2 ;
х 2
3
3
2 х 2
1;
х 2
3
х 2
2
1;
3
х 2 0;
х 2.
2.
5
Т.к.
х 3
3 х
7 .
7 3 х 0,
х 3
3 х
5
7
3 х ;
3 х
7
7
х 3
х 3
5 7 1;
х 3
(5 7) 1;
х 3 0;
х 3.
3.

11.

III. Показательные уравнения вида (Способ вынесения за скобку)
mx k 0
mx k1
mx k n
mx k 2
A1a
A2 a
... An a
M,
где A , A , A ,... A , М , a, m, k , k , k , k сonst .
0
1
2
n
0 1 2
n
A0 a
Вынесем за скобки
число. Имеем:
a
mx k i
( A0 a
k0 ki
A1a
k1 k i
а
mx ki где
,
A2 a
k 2 ki
k-наименьшее
i
... An a
k n ki
) M,
N const.
a mx ki N M , при N≠0 получим уравнение:
a
mx k i
M
,

12.

a
mx k i
M
,
Возможны три случая:
f ( x)
M
1 , уравнение сводится к виду
M
f ( x)
а , уравнение сводится к виду
M
0 , данное уравнение не имеет корней.
a
a
1;
а ;

13.

Пример 1:
6
х 1
35 6
х 1
Вынесем за скобки
х 1
Пример 2:
71.
6
х 1
,
6 (6 35) 71;
х 1
6 71 71;
71
х 1
6 ;
71
х 1
6 1;
2
х 1 0.
х 1.
3
х 1
2 3
х 2
Вынесем за скобки
х 1
х 75
.
1
3
,
3 (1 2 3 ) 75;
х 1
3 (1 54) 75;
3
х 1
3
х 1
3
( 53) 75;
75
;
53
уравнение корней не имеет.
1.
корней нет.

14.

IV. Приведение показательного уравнения к квадратному:
а). A a 2 х A a х A 0,
0
1
2
а у,
x
Выполним подстановку
где у>0,
показательное уравнение превращается в обычное
квадратное уравнение
А0 у А1 у А2 0,
2
Решением этого уравнения являются значения
у1 и у2;
Чтобы найти корни показательного уравнения нужно
х
х
решить уравнения
и
2;
1
Если у 0 и у 0, одновременно,
то данное
1
2
показательное уравнение корней не имеет.
а у
а у

15.

Пример:
2 4 80.
х
2х
2 2 80 0;
Выполним подстановку 2 х t , где
2
t t 80 0;
t1 10;-посторонний корень;
t 2 8;
х
Решим уравнение 2 8,
х
х
2 2 ,
х
3
х 3.
3.
t>0,

16. Решить показательные уравнения

1)
2)
3)
5х=625;
100х=10;
4х=256;
4)
3х-1= 27;
5)
5х-2= 25;
6)
7)
1
х
3 ;
9
12х=1;
х
8)
х
a 0; a 1.
16) 1 4;
2
12) 2-х=8;
1
13)
49;
7
2
1,5;
3
10) ах=а2;
9)
11) 5-х= 25;
х
4х=2 ;
17) 5х∙2х=400;
18) 10х+1=0,1;
х 2 х
1;
14) 27х=3 ;
19)
15) 2х∙3х=36;
20) 5х=-25.
3

17. Индивидуальная работа. Из данных вариантов решить один(по выбору):

III уровень
Вариант №1.
Вариант №2.
3 4 2 9 5 6 . 2 16 2 4
х
х
Вариант №3.
3
х 1
2 3
х 2
х
х
2 х 2
15.
Вариант №4.
II уровень
х 2
2 х
Дополнительно
75.
7 : 4 .
2 8.
Вариант №6.
х
х
2 3 36.
3
3 9.
Вариант №5. I уровень
х
х
27
2 9
.
64
3 8
х
4х
+1б.
х
+1б.
Дополнительно:
а).24х=16; б).3х=1.
+1б.
а).33х=27; б).4х=-64.
+1б. +1б.
+1б.