Показательные уравнения

1. Показательные уравнения Учитель МБОУ «СОШ №31» г.Энгельса Волосожар М.И.

2.

Показательные уравнения – это уравнения,
содержащие переменную в показателе степени.
Решение показательных уравнений часто
сводится к решению уравнения вида
,
где a>0, а 1, х – неизвестное.
Эти уравнения решаются с помощью свойства
степени: степени с одинаковыми основаниями
a>0, а 1 равны только тогда, когда равны их
показатели.

3.

Рассмотрим различные типы показательных уравнений и
типы их решения.
1. Решение уравнений с использованием свойств
показательной функции:
Пример 1. Решить уравнение
0,25
0,125 4 2 х 8
2
х
Решение.
Так как 0,125=125/1000=1/8, 0,25=1/4 и 2=2 , то уравнение
примет вид:
1 х
1 х
1 2 или 3 4 х 16 2
1
2 2 х 8
2 2
2 2 2
2
2
4
8
2 3 4 х 16 2
1
2
5
х
2
Т.к. 2>0, 2 1, то –3+4х–16 =2,5х или 1,5х=19, 3х=38, х=
ОТВЕТ: х=
38
3
38
3

4.

2. Решение уравнений, сводящихся к квадратным
Пример 2. Решить уравнение
sin2 x
cos2 x
Решение.
Так как cos 2 x 1 sin 2 x , то уравнение запишется в виде
4 2
2
2
sin2 x
1 sin2 x
4 2
6
или
2
sin2 x
6
8
2
sin2 x
6
8
2
6 или t 6t 8 0 ,
Пусть 2sin x t , t 0 , тогда получим t
t
откуда t=2, t=4. Имеем два уравнения:
2
1. 2sin x 2 , sin 2 x 1 , cos 2 x 0 , cos x 0 , x n , n Z
2
2. 2sin x 4 , sin 2 x 2 , нет корней, так как
2
ОТВЕТ: x
n , n Z
2
2
sin x 1

5.

3. Решение уравнений вынесением
общего множителя за скобку
Пример 3. Решить уравнение
52 х 1 3 52 х 1 110
Решение.
2 х 1
Вынесем за скобку 5
- степень с наименьшим показателем.
52 х 1 52 3 110 ,
2х– 1=1,
х=1
ОТВЕТ: х=1
52 х 1 22 110 , 52 х 1 5 или 2х 1 1

6.

4. Решение показательных уравнений
логарифмированием обеих частей
Пример 4. Решить уравнение
16
х 1
х
5х 100
Решение.
Прологарифмируем данное уравнение по основанию
5 (или 2).
Следует заметить, что можно, вообще говоря,
логарифмировать по любому основанию, но не совсем
удачный выбор основания может привести к
громоздким вычислениям.

7.

Имеем:
x 1
x 4
log 5 2 2 2 log 5 2
x
или
x 2 4( x 1) log 5 2 2x 2x log 5 2 ,
,
x 2 2 log 5 2 1 x 4 log 5 2 0 ,
x 2 2x log 5 2 2x 4 log 5 2 0
D
2
log 5 2 1 4 log 5 2 (log 5 2 1) 2
4
,
x1.2 1 log 5 2 log 5 2 1 , откуда
x 2 2 log 5 2
x1 2 ;
ОТВЕТ: 2; 2 log 5 2

8.

5. Решение уравнений с использованием свойства
монотонности показательной функции.
При решении некоторых типов показательных уравнений
используются следующие свойства:
1. Если функция f возрастает (или убывает) на некотором
промежутке, то на этом промежутке уравнение f(x)=0 имеет не
более одного корня.
х
x
x
2. Показательное уравнение вида а b (a b) ,
где a>0, b>0, a 1, b 1
имеет единственный корень х=1.
3. Сумма монотонно возрастающих (или монотонно убывающих)
функций есть также функция монотонно возрастающая
(монотонно убывающая).

9.

Пример 5. Решить уравнение.
х
3
а) 2 3 35 б) 5х 2 х 3
Решение.
а х b х ( a b) x
а) Данное уравнение можно
привести
к
виду
х
х
х
х
х
х
Так как 2 х 8 3 и 3 27 3 , то получим 8 3 27 3 35 3
Очевидно, что х=3 – корень уравнения.
х
х
1 2
х
х
б) 5 2 3 или 1 3
x
x
5 5
1
2
Пусть f / 3 1
х
х
5
5
x
x
1 1 2
2
f / x 3 ln ln 0
5 5 5
5
Найдем
Так как f / x 0, то функция f(x) – монотонно
убывающая, значит х=1 – единственный корень
исходного уравнения.
ОТВЕТ: а) 3; б) 1

10.

Спасибо за внимание !