Арксинус и арккосинус

1.

Тема урока
Учитель математики
Абакарова Раисат Алибековна
МКОУ «Уркарахская многопрофильная гимназия им. А. Абубакара"
Дахадаевского района Республика Дагестан

2.

• Цели и задачи урока:
• Сформировать знания обучающихся о
понятиях: арксинус и арккосинус числа.
• Научить вычислять их значения по
таблице.
• Развивать мышление, память,
вычислительные навыки, навыки
самоконтроля и взаимоконтроля.
• Воспитывать ответственность,
самостоятельность, трудолюбие.
• Совершенствовать навыки устного
счета

3.

.
Блицопрос
2. От чего зависит значение
1. Кофункция тангенса –
это…?
косинус
функции?
От
аргумента
3. Мера измерения угла?
градус,
радиан
4. Какой функции недостает: синус,
тангенс
косинус, котангенс?
5. Значение тригонометрических
период
функций повторяется через?

4.

.
6. y = соs x –
тригонометрическая…
функция
7. Как называется график функции y =
sin x ?
cинусоида
8.
(0;?) – Что это?
ордината
9. Он не только в земле, но и в корень
математике.
аксиома
10. Предложение, требующее
доказательства?

5.

.
11. Отношение противолежащего
катета к гипотенузе - это
синус
12. y = sin x - нечетная функция,
y = соs x четная
13. Функции синус, косинус,
тангенс и котангенс
изучаются в разделе математики,
который называется… тригонометрия

6. Решение задач

Устный счет:
19+200=
:(-3)=
-13=
+6=
: (-0,2)=

7. Решение задач

На рисунке показано изменение температуры воздуха на
протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и
время суток, по вертикали — значение температуры в
градусах Цельсия. Определите по рисунку наименьшую
температуру воздуха 16 октября.

8. Решение задач

На диаграмме показан средний балл участников 10 стран в
тестировании по математике. Найдите средний балл
участников из Болгарии.

9. Решение задач

Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют
координаты (1;1), (10;1), (9;8), (4;8)

10. Решение задач

Определите знак выражения:
0
0
0
0
1) sin 105 cos 37 tg85 ctg93
0
0
0
2) sin 197 cos134 tg 74 ctg190
0

11.

Таблица перевода градусов в радианы
градус
ы
радиан
ы
0
0
30
6
45
4
60
3
90
2
180 270 360
3 2
2

12.

Таблица некоторых значений
тригонометрических функций
функци
я
0
30
45
60
sin 0
cos 1
1
2
2
2
2
2
3
2
1
2
tg 0
ctg
90
180
1 0
3
0
1
2
1
3 0
3 1
1
3 1 3 0
270
360
1 0
0 1
0
0

13.

Тригонометрические функции – это
математические функции, зависящие от
угла.
Определяют тригонометрические функци
и обычно как отношения сторон
прямоугольного треугольника или длины
определённых отрезков в единичной
окружности. К тригонометрическим
функциям относятся функции:
y = sin x;
y = cos x;
y = tg x;
y = ctg x;
y = sec x;
y = cosec x.

14.

Обра́тные тригонометри́ческие
фу́нкции — математические
функции, являющиеся обратными к
тригонометрическим функциям.

15.

Обратные
тригонометрические функции
у=arcctgx
у=arcsinx
график
график
у=arccosx
график
у=arctgx
график

16. Сведения из истории

Современные обозначения arcsin и
arctg появляются в 1772г.в работах
венского математика Щерфера и
известного французского ученого
Ж.Л. Лагранжа, хотя
несколько ранее уже
рассматривал Д. Бернулли,
который употреблял иную
символику.

17. Сведения из истории

• Общепринятыми эти символы
стали лишь в конце XVIII
столетия. Приставка «арк»
происходит от латинского
arcus (лук, дуга), что вполне
согласуется со смыслом
понятия; arcsin х,
например,— это угол (а можно сказать, и
дуга),синус которого равен х.

18.

Функция у = sinx
Область определения функции — множество R всех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция —
ограниченная.
Функция нечетная: sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R.
График функции симметричен относительно начала координат.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π:

19. Функция у = sin x

y=sin x
1 у
-2π
3
2
-π
Функция
y=sin x
2
0
2
π
-1
возрастает на отрезке
2 ; 2
3
2
х
2π

20. Арксинус

у
Функция y=sin x
возрастает на отрезке ; .
2 2
а
1 sin x 1
Для любого
1 а 1
в промежутке ;
2 2
существует единственный
корень b уравнения
2
b
2 х
b
0
а
sin x = a
а
b=arcsin a
2
arcsin a
2
y=sin x
1
-1
b

21. Арксинус

Обозначение. Арксинус а обозначается
arcsina.
• Арксинусом числа а называется такое
число
из отрезка
, синус которого равен а.
Очевидно, что а є [-1;1].
Т.к
Функция y=arcsin x- нечетная,
поэтому

22.

у = arcsinx
;
х

23.

Свойства функции y = arcsin x
1)Область определения: отрезок
[-1; 1];
2)Область изменения: отрезок
[-π/2,π/2];
3)Функция y = arcsin x нечетная:
arcsin (-x) = - arcsin x;
4)Функция y = arcsin x монотонно
возрастающая;
5)График пересекает оси Ох, Оу в
начале координат.

24.

2
Определение
0
arcsin t = a
1)
2
2
2) sin t
3) 1 t 1
2
arcsin(-x) = - arcsinx

25. Примеры вычислений

sin
,так как
0, так как
=
, так как

26.

Функция у = cosx
Область определения функции — множество R всех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция —
ограниченная.
Функция четная: cos(−x)=cos x для всех х ∈ R.
График функции симметричен относительно оси OY.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π:

27. Функция у = cos x

1 у
-2π
3
2
-π
Функция
y=cos x
2
0
y=cos x
2
х
π
-1
убывает на отрезке
0;
3
2
2π

28. Арккосинус

у
Функция y=cos x
убывает на отрезке
0; .
1 cos x 1
1 а 1
в промежутке
0;
1
y=cos x
а
Для любого
существует единственный
корень b уравнения
cos x = a
b=arccos a
0 arccos a
b
0
а
а
-1
b
2
b
х

29. Арккосинус

Обозначение: Арккосинус а обозначается
arccosa.
• Арккосинусом числа а называется такое
число из отрезка
, косинус которого
равен а.
Очевидно, что а є [-1; 1]
• Т.к.
Функция y=arccosx- четная,

30.

у=arccos x
1
0
-1
1)Область определения: отрезок [-1; 1];
2)Область значений: отрезок
3)Функция у = arcсos x четная:
arcscos (-x) =
4)Функция у = arcсosx монотонно убывающая;

31.

Свойства функции y = arccos x .
1)Область определения: отрезок [-1; 1];
2)Область изменения:отрезок[0;π]
3)Функция y =
arccosx четная:
arccos(-x )=
arccosx
4)Функция y = arccos x
монотонно убывающая

32.

Определение
2
0
arccos t = a
1) 0 а
2) cos a t
3) 1 t 1
2
arccos(-x) = - arccosx

33. Примеры вычислений

• 1)
• 2)
• 3)
• 4)

34.

Работаем устно
arcsin 1
arcsin 0
arccos 1
arccos 0
2
arcsin
2
1
arcsin
2
1
arccos
2
1
arccos
3
arcsin(-x) = - arcsinx
1
arcsin( )
2
1
arccos( )
2
3
2
arcsin( )
arccos(
)
2
2
arccos(-x) = - arccosx

35.

Работаем устно
Имеет ли смысл выражение?
arcsin 2 arccos 3
arctg100
Может ли arcsint и arccost принимать
значение равное
5
5, , , 10,
9
3
,?
7

36.

37. Заполни таблицы

38.

Таблица некоторых значений обратных
тригонометрических функций
функция
arcsin
arccos
0
1
2
0
30 45 60 90 270
2
2
3
2
90 60 45 30
1 1
0 180