Производная сложность функции

1.

Пусть переменная y есть функция от переменной
u, y=f(u).
И пусть переменная
переменной x, u=φ(x).
u
есть
То есть задана сложная функция
y f (x )
функция
от

2.

Если y=f(u), u=φ(x) – дифференцируемые
функции своих аргументов, то производная
сложной функции существует и равна
производной
данной
функции
по
промежуточному аргументу, умноженной на
производную
самого
промежуточного
аргумента по независимой переменной:
y f (u ) u x

3.

Правило дифференцирования сложной функции
можно записать иначе:
y x yu u x
или
dy dy du
dx du dx

4.

Найти производные сложных функций:
1
y
x 5
3

5.

2
y 3 x 5 x 5
3
1
x 5 x
2
2
1
2
3
2
1
x 5
x
2

6.

2
y 3
x 1
2
x 1
2

7.

1 x 1
y 2
3 x 1
2
2
3
2
3
x 1
2
x 1
2
1 x 1 ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1)
2
2
2
3 x 1
( x 1)
2
2
2
2
2

8.

2
3
1 x 1 2 x ( x 1) 2 x ( x 1)
2
2
2
3 x 1
( x 1)
2
1 x2 1
2
3 x 1
2
2
3
2
2 x3 2 x 2 x3 2 x
2
2
( x 1)
2
3
2
1 x 1
4x
2 2
3 x 1 ( x 1) 2