Similar presentations:
Производная функции. Дифференциал. Лекция 2
1. Производная функции. Дифференциал
2. Изменение функции
Пусть на интервале (a,b)задана функция f(x).
Назовем приращением
аргумента разность:
а приращением функции –
разность:
3. Понятие производной
Пусть на интервале (a,b) задана функция f(x), и пусть x0 –некоторая точка интервала (a,b).
Производной функции в точке x0 называется предел:
4. Понятие производной
Функция, имеющая производную в некоторой точке (нанекотором интервале), называется дифференцируемой в
этой точке (на некотором интервале).
Если ввести понятие приращения аргумента, то формула
может быть записана в виде:
5. Понятие производной
Обозначения производной:Операция вычисления производной называется
дифференцированием.
6. Производные элементарных функций
7. Правила дифференцирования
1) Производная суммы функций равна суммепроизводных:
2) Постоянный множитель можно выносить за знак
производной:
8. Правила дифференцирования
3) Производная произведения функций:4) Производная отношения двух функций:
5) Производная сложной функции (цепное правило):
9. Производные высоких порядков
Результат дифференцирования – это функция; еслисуществует производная у функции, полученной в
результате дифференцирования, то такая производная
называется второй производной:
По аналогии определяются производные более высоких
порядков.
10. Физический смысл производной
Первая производная координаты по времени – скоростьтела:
Вторая производная координаты по времени – ускорение:
Производная выражает скорость/быстроту изменения той
или иной величины в зависимости от другой.
11. Дифференциал функции
Если функция имеет в точке x0 производную, топроизведение:
называется дифференциалом функции f(x) в точке x0.
Дифференциалом независимой переменной называется
выражение:
12. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям
Для дифференцируемой в точке x0 функции f(x), у которойf‘(x)≠0, при достаточно малых Δx справедливо: