Охлаждение (нагревание) тела конвекцией

1. Охлаждение (нагревание) тела конвекцией

Студентка группы ИМ14-02Б Е.В. Гаврилова

2.

Скорость изменения температуры тела пропорциональна
разности температуры тела и температуры окружающей
среды TC. Пусть коэффициент пропорциональности
линейно зависит от температуры. Начальная температура
T0. Найти зависимость температуры от времени.
6

3.

t – время;
T(t) – температура тела в момент времени t;
T0 – начальная температура тела;
TC – температура окружающей среды.
dT
– скорость изменения температуры тела есть скорость изменения функции,
dt
связывающей t и T.
По закону Ньютона скорость охлаждения (или нагревания) тела пропорциональна
разности между температурой тела и температурой окружающей среды:
dT
~
k T TC .
dt
~
По условию задачи k kT – коэффициент пропорциональности линейно зависит от
температуры.
Составим дифференциальное уравнение:
dT
kT T TC , где k > 0 – коэффициент пропорциональности;
dt
если T – TC > 0, то тело охлаждается (скорость изменения температуры тела
отрицательна);
если T – TC < 0, то тело нагревается (скорость изменения температуры тела
положительна).
Начальные данные: T t t 0 T0 .
dT
kT T TC (1), T t t 0 T0 (2) – задача Коши.
dt

4.

dT
kT T TC – уравнение с разделяющимися переменными.
dt
dT
dt
; T(T – TC ) ≠ 0; T ≠ 0 и T ≠ TC (3)
kT T TC
T T TC
dt
dT
T T TC k dt
Для нахождения интеграла воспользуемся методом неопределённых
коэффициентов:
A T TC BT ATC A B T
1
A
B
1
1
T T TC T T TC
T T TC
T T TC
TC T TC T TC
1
T : A B 0; B A
TC
1
T 0 : ATC 1; A
TC
1
1
TC T TC TC T dT k dt
1 d T TC 1 dT
k dt
TC T TC TC T

5.

1
1
ln T TC ln T kt C
TC
TC
1
ln T TC ln T kt C
TC
1 T TC
ln
kt C
TC
T
T TC
TC kt C
T
T TC
Потенциируем:
eTC kt C
T
ln
T TC TeTC kt C
T 1 eTC kt C TC
T
TC
TC kt C
TC
TC kt TC C
(4)
1 e
1 e
e
Учитывая начальные данные (2):
TC
TC
TC
TC
TC C
TC C
T
C
ln
1
T0
1
e
e
1
;
;
;
прологарифмируем:
.
C
TC C
T0
T0
T0
1 e

6.

TC
(5)
T
1 e TC kt 1 C
T0
Область допустимых значений (О.Д.З.) для (5):
T
T
1 e TC kt 1 C 0 e TC kt 1 C 1 , в частности, TС ≠ 0; T0 ≠ 0
T0
T0
Проверим значения (3):
TC
T = 0 не входит в О.Д.З., т. к.
0 TC = 0
T
1 e TC kt 1 C
T0
T = TC входит в общее решение при TC = T0 :
TC
TC
1
TC
TC kt
TC kt
1
e
1
1
e
1
;
1;
TC ;
T
T
T
T
T kt
C
0
0
T
kt
C
1
1 e
1 C
1
e
T0
T0
T
T
e TC kt 0 и 1 C 0 ; C 1; TC = T0
T0
T0
Подставим TCC в (4): T
C
0 ;

7.

Получили:
TC
– зависимость температуры тела T от времени t
T
1 e TC kt 1 C
T0
T
(при e TC kt 1 C 1 , TС ≠ 0, T0 ≠ 0);
T0
если T0 > TC , то тело охлаждается (скорость изменения температуры тела
отрицательна);
если T0 < TC , то тело нагревается (скорость изменения температуры тела
положительна).
T

8.

Рисунок 1. График зависимости
температуры тела T от времени t при
коэффициенте пропорциональности
k = 0,1, начальной температуре тела
T0 = 100, температуре окружающей
среды TC = 200 (нагревание)
Рисунок 2. График зависимости
температуры тела T от времени t при
коэффициенте пропорциональности
k = 0,1, начальной температуре тела
T0 = 100, температуре окружающей
среды TC = 0,5 (охлаждение)

9.

Рисунок 3. График зависимости
температуры тела T от времени t при
коэффициентах пропорциональности
k = 0,1, k = 0,01, начальной температуре
тела T0 = 100, температуре окружающей
среды TC = 200 (нагревание)
Рисунок 4. График зависимости
температуры тела T от времени t при
коэффициентах пропорциональности
k = 0,1, k = 0,01, начальной температуре
тела T0 = 100, температуре окружающей
среды TC = 0,5 (охлаждение)

10.

Рисунок 5. Вычислительная среда MATLAB 7.7.0 (R2008b)

11.

Благодарю за внимание!