Показательные неравенства

1.

Показательные
неравенства
Определение
Простейшие
неравенства
Решение неравенств

2. Определение

Показательные неравенства –
это неравенства, в которых
неизвестное содержится в
показателе степени.
Примеры:
3 9;
х
2 5 2
х
х 1
11

3. Простейшие показательные неравенства – это неравенства вида:

a a
b
a a
b
x
x
a a
x
b
a a
x
b
где a > 0, a 1, b – любое число.
к теме

4.

При решении простейших
неравенств используют свойства
возрастания или убывания
показательной функции.
a a
x b
a 1
x
b
a
x b
0 a 1
a
x
b
Для решения более сложных
показательных неравенств используются те
же способы, что и при решении
показательных уравнений.

5. Решение показательных неравенств сводится к решению неравенств

a a или a a
x
x0
x
x0

6.

a 1
a
a x2
x2
a x1
a x1
x1
a a
x1 x2
x1
0 a 1
x2
x2
x1
a a
x2
x1
y a
x
x1 x2
x2

7. Какие из перечисленных функций являются возрастающими, а какие убывающими?

1) y 5x
возрастающая, т.к.5 1
2) y 0,5
x
3) y 10
x
4) y
x
убывающая, т.к.0 0,5 1
возрастающая, т.к.10 1
возрастающая, т.к. 1
2
5) y
3
x
убывающая, т.к.0
2
1
3

8.

Этапы решения показательных
неравенств:
1. Приведите неравенство к виду
a a или a a
x
x0
x
x0
2. Определите, возрастающей или
убывающей является показательная
функция

9. При а>1 функция возрастает

При а>1 функция
возрастает
x x
a
x
a
a
x x
x0
a
0
x
x0
0
При 0<а<1 функция убывает
x
x
x
x
a
a
a
a
x x
0
0
x x
0
0

10. Решите неравенство:

3 81
x
4
3 3
x
т.к.3 1, то функция y 3 возрастающая
x
x 4
x 4;

11. Решите неравенство:

x
1
1
8
2
x
1 1
2 2
3
1
1 1
8
2 2
3
2
x
1
т.к.0 1, то функция y убывающая
2
2
1
3
x
2
3
x - ;
2
3
2

12.

Решите неравенство:
1
2 ;
2
3x
1
2 2 ;
3x
т.к. основание 2 1, то функция возрастающая
3 x 1;
1
x ;
3
1
x ;
3

13. Простейшие показательные неравенства

1). 3 9 3 x 32 x 2
Ответ : х 2.
х
1
1
1
2).
4 2
2
х
Ответ : х 2.
x
1
2
2
x 2

14. Двойные неравенства

1
3 x
3 9
3
1
3 x
3 3 3
3 > 1, то
1 3 x 2
2
1 3 x 2 3
4 x 1
Ответ: (- 4; -1).

15. Решение показательных неравенств

1 х
х 3
3 3 10
3
3
х 3
3
3
1 3
(1 3 ) 10
3
х 3
х 3
(1 9) 10
10 10
: 10
3
3
х 3
х 3
3 > 1, то
1
3
х 3 0
х 3.
Ответ: х >3
0