Показательные неравенства

1.

Показательные
неравенства
Горбачева И.С.– преподаватель математики

2. Определение

Показательные неравенства –
это неравенства, в которых
неизвестное содержится в показателе
степени.
Примеры:
3 9;
х
2 5 2
х
х 1
11

3. Простейшие показательные неравенства – это неравенства вида:

a a
b
a a
b
x
x
a a
x
b
a a
x
b
где a > 0, a 1, b – любое число.

4. Решение простейших показательных неравенств

Решение простейших показательных
a 0, a 1
неравенств
При решении простейших неравенств
используют свойства возрастания или
убывания показательной функции.
f ( x)
g ( x)
a
a
a 1
0 a 1
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
Знак неравенства
Сохраняется
Меняется

5.

Решения показательных
неравенств:
1. Способ уравнивания показателей.
2. Разложения на множители.
3. Введения новой переменной.

6. Решите неравенство:

3 81
x
4
3 3 т.к.3 1, функция
x
x 4

7.

Решите неравенство:
1
2 ;
2
3x
1
1
2
2
3 x
3x 1
1
x
3
1
т.к. 0 1, то функция
2

8.

Способ 2. Разложение на множители
3
х 3
1 х
3 10
3
3х 1 х
3 10
3
3
3
1
х 1
3 10
27 3
10
3
10
27
х
10
:
27
3 27
х
3 3
х 3
х
3
3 > 1, ф-ция ↑
Ответ: х 3

9.

Способ 3. Введение новой переменной
9 10 3 9
х
х
3 10 3 9 0
2х
х
1
3 t (t 0)
х
9
1 t 9
1 3x 9
t 2 10t 9 0
3 3 ;
х
D 10 4 9 100 36 64 8
2
10 8 18
t1
9
2
2
10 8 2
t2
1
2
2
2
2
3 3 ;
х
0
3>1, то ф- ция ↑
х 2
х 0.
Ответ: 0 < х < 2.

10. Решите неравенства

x
8 3
8 3
x
x
x
х € D (f)
Ответ:
x
4
2
3 81
3 9
x
4
2
3 3 3 > 1 ф-ия ↑ 2 x
2
x 4
3 3
x
Ответ: х € D (f)
4
2
0 1 ф ия
3
x
x ;4
x 2
2
x 2;
x

11. Решите неравенство

25
x 3
5
2 x 3
1
5
5
3 x 1
1 3 x 1
5 2 x 6 5 3 x 1
2x 6 3x 1
5 >1 ф-ия ↑
2x 3x 1 6
x 5
-5
x 5;
x

12. Решите неравенство

1
x 5 x
7
7
x 2 5 x
7
7 6
6
2
x 2 5 x 6
x2 5x 6 0
_
+
2
+
3
х1 = 2
2 x 3
x 2;3
Ответ:
2;3
х2 = 3
7>1 ф-ия ↑

13. Решите неравенство

32х – 4 ∙3х + 3 ≤ 0
3х = y
y² - 4y + 3 ≤ 0
у = 3; 1
_
+
1
+
3
1≤ y ≤ 3
1≤ 3x ≤ 3
30 ≤ 3x ≤ 3
3 > 1 ф-ция ↑
0≤х≤1
Резерв

14. Выполнить самостоятельно!

1
3
x
27
216
1
x
0,2
25
5 2x
0,25
4
2x 1
0,16
0,4
x2 2x
6

15.

Спасибо за урок!