Понятие многогранника. Призма

1.

Геометрия,
10 класс
Тема урока:
«Понятие многогранника.
Призма».

2.

3.

Определение
Многогранником называется поверхность, которая
составлена из многоугольников и ограничивает
некоторое геометрическое тело
грань
диагональ
грани
ребро
вершина
B
диагональ
многогранника

4.

Выпуклый многогранник
Невыпуклый многогранник

5.

Прямоугольный параллелепипед
Многогранник
называется
выпуклым, если
он расположен по
одну сторону от
плоскости каждой
его грани.

6.

Невыпуклый многогранник

7.

φ1
φ2 φ3
φ3
φ1
φ1 + φ2 + φ3 < 360°
φ2

8.

90° + 90° + 90° = 270° < 360°

9.

Тетраэдр
Додекаэдр
Октаэдр
Куб
Икосаэдр

10.

α
Многогранник, составленный
из параллелограммов и двух
равных многоугольников,
расположенных
в параллельных плоскостях
называется призмой
β

11.

Многогранник,
составленный из двух
равных многоугольников
А1А2…Аn и В1В2…Вn,
расположенных в
параллельных
плоскостях, и n
параллелограммов,
называется призмой.
Призма
Bn
B1
B3
B2
n-угольная призма.
Аn
А1
А3
А2
Многоугольники
А1А2…Аn и В1В2…Вn –
основания призмы.
Параллелограммы
А1В1В2В2, А2В2В3А3 и т.д.
боковые грани призмы

12.

Отрезки А1В1, А2В2 и т.д. боковые ребра призмы
Призма
Bn
Перпендикуляр,
проведенный из какойB3 нибудь точки одного
основания к плоскости
другого основания,
называется высотой
призмы.
B1
B2
Аn
А1
А3
А2

13.

Если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то
призма называется прямой, в противном случае наклонной.
Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

14.

A1
C1
B1
основания
боковая грань
высота
C
A
боковое ребро
B
АВСA1B1C1 — треугольная призма

15.

Прямая призма называется правильной, если ее основания
- правильные многоугольники. У такой призмы все боковые
грани – равные прямоугольники.

16.

ПРИЗМА
да
Перпендикулярны
ли боковые грани
основанию?
ПРЯМАЯ
нет
НАКЛОННАЯ
Какими многоугольниками являются боковые грани
прямой и наклонной призм?
БОКОВЫЕ ГРАНИ —
ПРЯМОУГОЛЬНИКИ
БОКОВЫЕ ГРАНИ —
ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ
Уделим внимание прямой призме. Её классификация зависит
от того, какой многогранник лежит в основании. Какие мы
знаем? Произвольные и правильные
да
ПРАВИЛЬНАЯ
ПРИЗМА
Правильный ли
многогранник лежит в
основании?
нет
НЕПРАВИЛЬНАЯ
ПРИЗМА

17.

Площадью полной поверхности призмы
называется сумма площадей всех граней, а
площадью боковой поверхности призмы –
сумма площадей ее боковых граней.
Sполн Sбок 2Sосн
h
Pocн
Sбок Росн h

18.

Сумма площадей всех граней
призмы называется площадью
полной поверхности
О.
— основания
Б.Г.
Б.Г.
— боковые грани
Б.Г.
О.
Sполн. = Sбок. + 2Sосн.

19.

Теорема
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна
произведению высоты призмы на периметр её основания
Sбок. = a1 · h + a2 · h + a3 · h + … an · h =
h
a3
a1
a2

20.

Задача 2
Дано:
АВСDА1В1С1D1 — прямой
параллелепипед
АВСD — ромб
АС = 24 см
ВD = 10 см
АА1 = 10 см
Найти: большую диагональ АВСDА1В1С1D1
Решение:
1) А1С — большая диагональ
2) ΔАА1С — прямоугольный
Ответ: А1С = 26 см
B1
C1
A1
10 см
A
26 см
D1
B
24 см
10 см
C
D

21.

Задача 1
Дано:
АВСА1В1С1 — прямая
треугольная призма
∠AСB = 90°, ∠ВА1С = 30°
А1В = 10, АС = 5
Найти: Sбок.
B1
A1
30°
C1
10
Решение:
1) А1С ⏊ ВС ⇒ ΔА1ВС — прямоуг.
B
A
5
5
C

22.

B1
Задача 2
C1
Дано:
АВСDА1В1С1D1 — правильная
прямоугольная призма
∠ВDВ1 = 60°
A1
B
⇒ AB = AD = 4 (см)
5) BD = DC1, ΔDCC1 — прямоуг. ⇒
d
4 см
Решение:
1) AB ⏊ AD, B1B ⏊ AD ⇒ AB1 ⏊ AD
В1С1 ∥ AD ⇒ AB1 ⏊ В1С1
AB1C1D — прямоугольник
2) d = В1D = АС1
3) ∠ ABD = 45°, ΔABD — прямоуг. ⇒
D1
45°
A
4 см
60°
C
D

23.

Задача 1
Дано:
АВСDА1В1С1D1 — прямоугольный
параллелепипед
АВ = 12 см, ВС = 5 см
АС1^(АВС) = 45°
Найти: ВВ1
D1
A1
Решение:
1) СС1 ⏊ (АВС) ⇒ АС ⏊ СС1
АС - проекция АС1 на (АВС) ⇒ САС1 = 45°
2) ∠САС1 = 90°, ∠САС1 = 45° ⇒ ∠СС1А = 45°
ΔАСС1 — прямоуг. и равноб. ⇒ АС = СС1
3) СС1 = ВВ1 = АС
Ответ: ВВ1 = 13 см
C1
B1
D
45°
45°
A
12 см
5 см
B
C