Понятие многогранника, призмы и их элементов

1.

2.

Цель: ввести понятие многогранника, призмы и их
элементов
Задачи:
Учебно – познавательная: формирование
умений применять основные понятия многогранника,
призмы и их элементов при решении задач на
конструктивном уровне
Развивающая:
развитие визуального, нагляднообразного типов мышления.
Воспитательная:
способствовать развитию
устойчивого интереса к математике через применение
информационно – коммуникационных технологий.

3.

• Что
• Чтоназывается
называетсялинейным
углом между
углом
прямой
двугранного
и плоскостью?
угла?
•Чему равна сумма углов треугольника?
М
•Свойства углов при основании равнобедренного
1800
треугольника.
А
А
О
1
β0
В
1=2
2

4.

Правильные многогранники в философской
картине мира Платона.
Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у
разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая
устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух.
огонь
земля
воздух
вода

5.

Пятый многогранник – додекаэдр символизировал
весь мир и почитался главнейшим.
вселенная

6.

Что такое многогранник?
Поверхность, составленную из многоугольников и
ограничивающую некоторое геометрическое тело
называют многогранником.
Многогранники бывают
Выпуклые
Прямые
Невыпуклые
Наклонные

7.

Прямые и наклонные
многогранники

8.

Многогранник
называется
выпуклым, если он
расположен по одну
сторону от плоскости
каждой его грани.

9.

Невыпуклый многогранник

10.

Элементы многогранника
Из чего состоит поверхность многогранника?
Вывод: многоугольники – это грани.
Стороны граней называются ребрами.
Концы ребер – вершинами многогранника
D1
С1
А1
С
А
В

11.

Свойства плоских углов многогранника
При одной вершине сходится n плоских углов, но чтобы образовался
многогранный угол сумма их градусных мер должна быть меньше 360°, т.е.
n 360°
Существуютмногогранники,
многогранники, гранями
гранямикоторых
которых
Существуют
Существуют
гранями которых
являются
правильные
являютсямногогранники,
правильные пятиугольники
треугольники
являются правильные четырёхугольники
Угол правильного пятиугольника равен 108°, значит в одной вершине
Угол
правильного
треугольника
равен
60°,
значиттолько
в
Угол
квадрата
равен 90°, значит
в одной вершине
может
сходиться
может сходиться только 3 правильных
3 квадрата
одной вершине
может сходиться
пятиугольника
Додекаэдр
3, 4 или 5 правильных
треугольников
Тетраэдр
Гексаэдр
Октаэдр
Икосаэдр

12.

Эйлерова
характеристика многогранника
В каждом правильном многограннике сумма числа
и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2.
грани
вершины
ребра
Г + В = Р + 2
Л. Эйлер
60
Правильный тетраэдр составлен их
четырех равносторонних треугольников и
в каждой вершине сходятся 3 ребра.
4 грани, 4 вершины и 6 ребер.
Сумма плоских углов при каждой
вершине равна 1800
60 + 60 + 60 < 360

13.

грани
вершины
ребра
Г + В = Р + 2
Название
Тетраэдр Октаэдр
Гексаэдр Додекаэдр Икосаэдр
Число
граней
4
8
6
12
20
Число
вершин
4
6
8
20
12
Число
рёбер
6
12
12
30
30

14. Призма

Многогранник,
составленный из двух
равных
многоугольников
A1A2…An и B1B2…Bn,
расположенных в
параллельных
плоскостях, и n
параллелограммов,
называется призмой
Bn
B1
B3
B2
An
A1
A3
A2

15.

Bn
B1
B3
Многоугольники A1A2…An и
B1B2…Bn называются
основаниями призмы,
B2
An
Bn
A1
A3
B1
B3
A2
B2
а параллелограммы –
боковыми гранями
призмы
An
A1
A3
A2

16. Боковые ребра призмы

Отрезки A1B1, A2B2,
… , AnBn
называются
боковыми ребрами
Bn
B1
B3
B2
призмы
Боковые ребра
призмы равны и
An
A1
A3
параллельны
A2

17.

Призму с основаниями A1A2…An и B1B2…Bn
обозначают A1A2…AnB1B2…Bn и называют n-
угольной призмой

18. Высота призмы

Bn
B1
B3
B2
An
A1
M
A3
A2
Перпендикуляр,
проведенный из
какой-нибудь точки
одного основания к
плоскости другого
основания,
называется высотой
призмы
B1M ( A1A2 A3 )

19. Прямая и наклонная призмы

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к
основаниям, то призма называется прямой,
в противном случае – наклонной
Высота прямой призмы равна её боковому ребру

20. Правильная призма

Прямая призма
называется
правильной, если её
основания –
правильные
многоугольники
У правильной призмы
все боковые грани –
равные
прямоугольники

21. Правильные призмы

22. Параллелепипед

Если основания
призмы -
B1
параллелограммы, то
призма является
параллелепипедом
C1
A1
D1
B
C
В параллелепипеде все
грани являются
параллелограммами
A
D

23. Диагонали призмы

B1
C1
A1
D1
B
A
C
D
Диагональю призмы
называется отрезок,
соединяющий две
вершины, не
принадлежащие
одной грани

24. Диагонали параллелепипеда

B1
C1
A1
пересекаются в одной
точке и делятся
этой точкой
пополам
D1
O
B
A
C
D
Диагонали
параллелепипеда
AO OC1
AO
OC
1
BO OD1
B1O OD

25. Диагональные сечения призмы

Сечения призмы
плоскостями,
проходящими через два
боковых ребра, не
принадлежащих одной
грани, называются
диагональными
сечениями
D
E1
D
E1
A1
A1
C
C
B1
B1
D
E
D
E
A
A
C
C
B
B
E1
D
E1
D
A1
A1
C
C
Диагональные сечения
B1
B1
призмы являются
параллелограммами
E
E
D
A
A
C
C
B
D
B

26. Диагональные сечения параллелепипеда

C1
B1
A
C1
B1
A1
D1
A1
D1
B
C
B
C
D
A
D

27. Площадь поверхности призмы

Площадью полной поверхности призмы
называется сумма площадей всех её граней
Площадью боковойS
поверхности
призмы
полн
называется сумма площадей её боковых
граней
Sполн
Sбок
Sбок 2Sосн

28. Теорема о площади боковой поверхности прямой призмы

Теорема.
Площадь боковой поверхности прямой
призмы равна произведению периметра
основания на высоту призмы
Sбок Pосн H

29. Доказательство теоремы

Боковые грани прямой призмы –
прямоугольники, основания
которых – стороны основания
призмы, а высоты равны высоте H
призмы. Площадь боковой
поверхности призмы равна сумме
площадей указанных
прямоугольников, т.е. равна сумме
произведений сторон основания на
высоту H. Вынося множитель H за
скобки, получим в скобках сумму
сторон основания, т.е. периметр
P.
F1
E1
D1
A1
B1
F
C1
E
D
A
B
C

30.

Sбок SABB1A1 SBCC1B1 SACC1A1
AB AA1 BC BB1 AC CC1
AB H BC H AC H
AB BC AC H
P ABC H

31.

Умение решать задачи – практическое
искусство, подобное плаванию, или катанию на
лыжах … : научиться этому можно лишь
подражая избранным
образцам и постоянно тренируясь..
Д. Пойа

32.

В прямоугольном параллелепипеде стороны основания
равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с
плоскостью основания угол в 450. Найдите боковое ребро
параллелепипеда.
D1
С1
А1
В1
?
С
450
А
12 см
В

33.

Сторона основания правильной треугольной призмы
равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь
сечения, проходящего через сторону верхнего основания и
противолежащую вершину нижнего основания.
С1
8
А1
8
8
В1
6
10
С
А
В

34.

Основанием прямого параллелепипеда является
ромб с диагоналями 10 см и 24 см, а высота
параллелепипеда 10 см. Найдите большую диагональ
параллелепипеда.
С1
D1
А1
В1
10 см
?
D
А
С
В

35.

Контрольные вопросы:
Что такое многогранник?
Какой многогранник называется выпуклым?
Дан куб – выпуклый многогранник. Как, имея пилу, получить из
деревянного куба модель невыпуклого многогранника?
Какими фигурами являются боковые грани призмы?
Какими фигурами являются все грани параллелепипеда?
Сколько измерений у прямоугольного параллелепипеда?
Назовите элементы многогранника.
О каких видах многогранников вы услышали сегодня на уроке?