Понятие многогранника

1.

2.

Параллелепипед –
поверхность, составленная из
шести параллелограммов.

3.

Тетраэдр – поверхность,
составленная из четырех
треугольников.
SS
В
А
С
Поверхность, составленную из многоугольников и
ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем
называть многогранной поверхностью или многогранником.

4.

Многоугольники, из которых
составлен многогранник,
называются
гранями.
Стороны граней называются
ребрами, а концы ребер –
вершинами.
Отрезок, соединяющий две
вершины, не принадлежащие
одной грани, называется
диагональю многогранника.
Октаэдр составлен из восьми
треугольников.

5. Характеристики тел

Многогранник
Число
сторон
грани
Число
граней,
сходящихся в
каждой
вершине
Число
граней
Число
рёбер
Число
вершин
Тетраэдр
3
3
4
6
4
Куб
4
3
6
13
8
Октаэдр
3
4
8
12
6
Икосаэдр
3
5
20
30
12
Додекаэдр
5
3
12
30
20
5

6.

Многогранник называется метрически
правильным, если все его грани
являются правильными
многоугольниками. К ним относятся
куб, тетраэдр, октаэдр, икосаэдр,
додекаэдр.
6

7.

Прямоугольный параллелепипед
Многогранник
называется
выпуклым, если
он расположен по
одну сторону от
плоскости каждой
его грани.

8.

Невыпуклый многогранник

9. Выпуклый или нет

НЕВЫПУКЛЫЙ
МНОГОГРАННИК
Многогранник называется
выпуклым, если он
расположен по одну сторону
от плоскости каждой его
грани. Тетраэдр,
параллелепипед и октаэдр выпуклые многогранники.
В выпуклом многограннике
сумма всех плоских углов при
каждой его вершине меньше
360.
9

10. Платон

Платоновыми телами называются
правильные однородные выпуклые
многогранники, то есть выпуклые
многогранники, все грани и углы которых
равны, причем грани - правильные
многоугольники.
Платоновы тела - трехмерный аналог
плоских правильных многоугольников.
Однако между двумерным и трехмерным
случаями есть важное отличие:
существует бесконечно много различных
правильных многоугольников, но лишь
пять различных правильных
многогранников.
около 429 – 347 гг до н.э.
Доказательство этого факта известно
уже более двух тысяч лет; этим
доказательством и изучением пяти
правильных тел завершаются "Начала
10 "
Евклида.

11. Платоновы тела

Тетраэдр
Икосаэдр
Октаэдр
Гексаэдр
Додекаэдр
11

12.

Отрезки А1В1, А2В2 и т.д. боковые ребра призмы
Призма
Bn
Перпендикуляр,
проведенный из какойB3 нибудь точки одного
основания к плоскости
другого основания,
называется высотой
призмы.
B1
B2
Аn
А1
А3
А2

13.

Призма
Многогранник,
составленный из двух
равных многоугольников
А1А2…Аn и В1В2…Вn,
расположенных в
параллельных плоскостях,
и n параллелограммов,
называется призмой.
Bn
B1
B3
B2
n-угольная призма.
Аn
А1
А3
А2
Многоугольники
А1А2…Аn и В1В2…Вn –
основания призмы.
Параллелограммы
А1В1В2В2, А2В2В3А3 и т.д.
боковые грани призмы

14.

Если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то
призма называется прямой, в противном случае наклонной.
Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

15.

Прямая призма называется правильной, если ее основания
- правильные многоугольники. У такой призмы все боковые
грани – равные прямоугольники.

16.

Площадью полной поверхности призмы
называется сумма площадей всех граней, а
площадью боковой поверхности призмы –
сумма площадей ее боковых граней.
Sполн Sбок 2Sосн
h
Pocн
Sбок Росн h

17.

№ 222. Основанием прямой призмы является
равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и
высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых ребрах
призмы.
D1
С1
А1
В1
D
9
С
25
F 8
8
А
8 H
В

18.

№ 219.
В прямоугольном параллелепипеде стороны
основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда
образует с плоскостью основания угол в 450. Найдите
боковое ребро параллелепипеда.
D1
С1
А1
В1
?
D
С
450
А
12 см
В

19.

№ 220.
Основанием прямого параллелепипеда является
ромб с диагоналями 10 см и 24 см, а высота
параллелепипеда 10 см. Найдите большую диагональ
параллелепипеда.
С1
D1
А1
В1
10 см
?
D
А
С
В

20.

1. Сторона основания правильной треугольной
призмы равна 8 см, а диагональ боковой грани равна
10 см. Найдите площадь боковой и полной
поверхности призмы.
2. Основание прямой призмы – параллелограмм со
сторонами 8 и 15 см и углом 120о. Боковая
поверхность призмы имеет площадь 460 см2. Найдите
площадь сечения призмы, проходящего через боковое
ребро и меньшую диагональ основания.
3. Основание прямой призмы – прямоугольный
треугольник с катетами 13 и 12 см. Меньшая боковая
грань и основание призмы равновелики. Найдите
площадь боковой и полной поверхности призмы.

21.

№ 221. Сторона основания правильной треугольной призмы
равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь
сечения, проходящего через сторону верхнего основания и
противолежащую вершину нижнего основания.
С1
8
А1
8
8
В1
6
10
С
А
В

22.

Высота правильной четырехугольной призмы равна 8 3,
а сторона основания – 8 см. Найдите расстояние между
вершиной А и точкой пересечения диагоналей грани DD1С1С.
D1
А1
С1
8 3
В1
О
D
А
8
С
8
В

23.

№ 223. Через два противолежащих ребра проведено
сечение, площадь которого равна 64 2 см2. Найдите ребро
куба и его диагональ.
D1
С1
В1
А1
a
S=
D
a
А
a
В
С

24.

№ 236. Докажите, что площадь боковой поверхности
наклонной призмы равна произведению периметра
перпендикулярного сечения на боковое ребро.
S1=A1A2* l
S2=A2A3* l
+ S =A A * l
3
A4
A1
l
3 4
S4=A4A1* l
Sбок Рсеч l
l
A2
A3

25.

№ 237. Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы
равно 12 см, а перпендикулярным сечением является ромб
со стороной 5 см. Найдите площадь боковой поверхности
призмы. D
1
Sбок Рсеч l
С1
А1
5
12
D
С
А
В

26.

№ 225. Диагональ правильной четырехугольной призмы
образует с плоскостью боковой грани угол в 300. Найдите угол
между диагональю и плоскостью основания.
a
D1
С1
А1
В1
2a
a
А
D
?
a
300
В
С

27.

№ 226. В правильной четырехугольной призме через
диагональ основания проведено сечение параллельно
диагонали призмы. Найдите площадь сечения, если сторона
основания призмы равна 2 см, а ее высота 4 см.
С1
D1
А1
В1
N
4
С
D
2
O
А
2
В

28.

№ 228. Основанием наклонной призмы АВСА1В1С1 является
равнобедренный треугольник АВС, в котором АС=АВ=13см,
ВС=10см,а боковое ребро призмы образует с плоскостью
основания угол в 450. Проекцией вершины А1 является точка
пересечения медиан треугольника АВС. Найдите площадь
грани СС1В1В.
А1
C1
B1
А
450
13
13
C
10
B

29.

№ 230. Основание прямой призмы – треугольник со
сторонами 5 см и 3 см и углом в 1200 между ними.
Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2.
Найдите площадь боковой поверхности призмы.
С1
А1
В1
С
А
5
1200
В
3

30.

№ 231. Стороны основания прямого параллелепипеда равны
8 см и 15 см и образуют угол в 600. Меньшая из площадей
диагональных сечений равна 130 см2. Найдите площадь
поверхности параллелепипеда.
D1
С1
А1
В1
8
S=130см2
А
D
С
8
А
600
15
С
D
В
600
15
В

31.

№ 238. В наклонной треугольной призме две боковые грани
взаимно перпендикулярны, а их общее ребро, отстоящее от
двух других боковых ребер на 12 см и 35 см, равно 24 см.
Найдите площадь боковой поверхности призмы.
А1
C1
B1
35
О
А
К
12
C
B

32.

№ 232. Диагональ прямоугольного параллелепипеда,
равная d, образует с плоскостью основания угол , а с одной
из боковых граней – угол . Найдите площадь боковой
поверхности параллелепипеда.
D1
С1
А1
d
В1
D
А
С
В

33.

№ 233. Основание прямой призмы АВСА1В1С1 является
прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. Через
ребро ВВ1 проведено сечение ВВ1D1D, перпендикулярное к
плоскости грани АА1С1С.
В1
Найдите площадь сечения,
если АА1=10см, АD=27см,
А1
DC= 12см.
С
1
D
1
Из
BD 27 12 3 3 2
9 3 3 4
10
Sсеч = 10 * 18
В
А
АВС
27
D
12
С

34.

№ 234. Основанием прямой призмы является
прямоугольный треугольник. Через середину гипотенузы
перпендикулярно к ней проведена плоскость. Найдите Sсеч ,
В1
если катеты равны 20см и 21см,
N1
а боковое ребро равно 42 см.
А1
С1
D1
В
42
N
В
?
N
А
А
D
С
D
С

35.

С1
2
А1
В1
5
С
А
D
В

36.

D1
С1
В1
А1
1
D
С
К
А
1
1
В

37. Задача № 219

D1
C1
B1
A1
?
?
?
D
С
45º
5
?
А
12
5
В
План:
1) Доказать, что
∆ BDD1- прямоуг.
2) Найти BD из
ABCD
3) Из ∆ BDD1
найти < DD1B.
4) Из ∆ ВDD1
найти DD1.

38. Задача № 219

D1
B1
A1
13
45º
13
D
45º
5
А
12
В
Решение:
1) ∆ BDD1-прямоуг.,
C1 т.к. DD1┴ пл. ABC
(по усл. паралл-д –
прямоугольный).
2) ∆ ABD – прямоуг.
BD² = AB²+ AD² по т. Пифагора.
BD = √ 12² + 5² = 13 см.
3) <DD1B= 90º - 45º= 45º.
С 4) ∆ BDD1 < B =<D1=45º→
∆ BDD1- равнобедренн.
DD1= DB = 13 см =ВВ1.

39. Задача № 221

А1
С1
В1
6
А
С
8
В
План:
1) доказать:
∆АА1В- прямоуг.
2) найти А1В;
3)доказать: А1В=ВС1;
4) найти по формуле
Герона S ∆A1C1B
S=√p (p-a) (p -b) (p -c)
где p=1/2(a+b+c).

40. Задача № 221

А1
Решение:
С1
В1
6
1)
∆АА1В- прямоуг.
Т.к. АА1┴ пл. АВС
(по усл. призма правильная)
2) А1В=√АА1²+АВ²- по
Т. Пифагора.
А1В=√6²+8²=10
3) А1В=ВС1; т.к. ∆АА1В=∆ВСС1
- по двум катетам.
4) по формуле Герона S ∆A1C1B
S=√p (p-a) (p -b) (p -c),
где p=1/2(a+b+c)=1/2(10+10+8)=14
S=√14*(14-10)*(14-10)*(14-8)=
С =√14*4*4*6=4*2√21=8√21 см²
Ответ:S=8√21 см²
А
8
В