Комплексный потенциал. Лекция 6

1.

Лекция 6
Объявление:
https://www.lektorium.tv/potencialnyetecheniya-zhidkosti
Комплексный потенциал
Комплексная сопряжённая скорость
Примеры простейших течений
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
1

2.

Комплексный потенциал
Согласно теореме Римана условия Коши-Римана являются условиями
существования аналитической функции
w z x, y i x, y z x iy i 1
(6.7)
Функция w(z) называется комплексным потенциалом
x, y Re w z , x, y Im w z
x, y C
- эквипотенциали
x, y C '
- линии тока
dw dw d i
i
u iv,
dz dx
dx
x
x
id i d i
dw
dw
i
u iv
dz d iy
dy
dy
y
y
dw
dw
u Re
;
v
Im
.
dz
dz
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
(6.8)
(6.9)
(6.10)
2

3.

V u i v V cos i sin V ei - комплексная скорость
V u i v V cos i sin V e i - сопряжённая комплексная скорость
dw
.
dz
dw
V V
.
dz
V u iv
(6.11)
(6.12)
Плоскость xOy называют физической
плоскостью или плоскостью течения.
Совокупность значений комплексной
скорости V образует плоскость
годографа скорости, или просто
плоскость годографа.
Рисунок 6.1 – Годограф скорости
Vdz udx vdy d ,
Im Vdz udy vdx d Q.
Re
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
(6.13)
3

4.

1. Однородный поток
w( z ) V z , V u i v V e i V cos i sin ,
w z u iv x iy u x v y i v x u y ,
u x v y, v x u y, V
(6.14)
dw
V , V V u i v .
dz
Рисунок 6.2 – Линии тока и эквипотенциали для однородного потока
Для случая 0 w( z) u z, V V u , u x, u y, V u
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
4

5.

2. Источник или сток
Q
Q
Q
Q
i
i
w( z )
ln z, z re , w( z )
ln re ,
ln r ,
,
2
2
2
2
Q
Q
V
, V
2 z
2 r
Рисунок 6.3 - Сток
(6.15)
Рисунок 6.4 - Источник
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
5

6.

3. Вихрь w( z )
ln z,
, ln r, V
, V
2 i
2
2
2 iz
2 r
Рисунок 6.5 -Вихрь
(6.16)
Рисунок 6.6 - Вихрь
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
6

7.

4. Вихреисточник w( z )
Q i
ln z
2
(6.17)
Рисунок 6.7 - Вихреисточник
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
7

8.

Примеры простейших потенциальных течений
5. Наложение потока от источника на однородный поток
Рисунок 6.8 – Источник в однородном потоке
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
8

9.

Рисунок – 1.
1. Схема аэродинамической трубы
Q
ln z h ln z h
2
Q 2h ln z h ln z h m d ln z
m
w( z ) lim
h 0, Q , 2
2h
2 dz
2 z
Q 2 h m
w z
5. Источник + Сток
6. Диполь
(6.18)
(6.19)
mx
mx
my
my
,
,
2
2
2
2
2
r
2
r
2 x y
2 x y
V
m
,
2
2 z
V
m
2 r 2
m – момент диполя
Рисунок 6.8 – Источник и сток
2
m m
x2 y
4 C 4 C
Линии тока -
2
Эквипотенциали Рисунок 6.9 – Диполь
2
m
m
2
x
y
4 C
4 C
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
(6.20)
2
9

10.

Бесциркуляционное течение около
цилиндра
(6.21)
(6.22)
(6.23)
(6.24)
Нулевая линия тока
(6.25)
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
10

11.

Бесциркуляционное обтекание цилиндра
(6.26)
(6.27)
(6.28)
(6.29)
(6.30)
(6.31)
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
11

12.

Бесциркуляционное течение около цилиндра
(6.32)
(6.33)
(6.34)
Течение около цилиндра:
Рисунок 6.10 – Визуализация течение около цилиндра
http://boat-portal.ru/sites/default/files/user/Image/177/2.jpg
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
12

13.

Бесциркуляционное обтекание цилиндра
m 2 a 2u
2 a 2u 1
a2
w( z ) u z
u z
2 z
z
Рисунок 6.11 – Линии тока обтекания
цилиндра
(6.35)
(6.36)
Рисунок 6.12 – Линии тока обтекания цилиндра
(компьютерная реализация)
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
13

14.

Скорость на поверхности цилиндра
a2
dw
V
u 1 2 .
dz
z
i
z ae
V u 1 e
2 i
(6.37)
(6.38)
ei e i i
2iu 2i e 2ie i u sin ,
(6.39)
V 2u sin .
Vmax 2u .
(6.40)
2
V
p p
2
cp
1
1
4sin
.
2
1 u2
u
2
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
(6.41)
14

15.

Давление на поверхности цилиндра
Рисунок 6.13 – Диаграмма
распределения давления
Рисунок 6.14 – Распределение давления по
поверхности цилиндра
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
15