Уравнение неразрывности. Лекция 5

1.

Лекция 5
Безвихревое течение
Потенциал скорости
Потенциальное течение
Потенциальное и безвихревое течения
Уравнение Лапласа для потенциала
скорости
Функция тока
Гидродинамический смысл функции тока
Уравнение Лапласа для функции тока
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
1

2.

Уравнение неразрывности
Относительное изменение объёма по времени равно
(4.31)
(4.32)
(4.33)
(4.34)
(4.35)
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
2

3.

Уравнение неразрывности
(4.36)
ρ
div ρ V 0
t
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
(4.37)
3

4.

Уравнение неразрывности
Частные случаи уравнения неразрывности
1) Установившиеся течение
(4.38)
2) Несжимаемое течение
Vx Vy Vz
ρ const divV 0 divV
x
y
z
Vx Vy Vz
0
x
y
z
divV 0
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
(4.39)
(4.40)
4

5.

Безвихревое течение
Определение. Безвихревое течение такое течение, при котором
выполняется равенство
(5.1)
i
rotV
x
Vx
j
y
Vy
k
Vz Vy
i
z
z
y
Vz
V V
j x z
x
z
Vy Vx
k
(5.2)
y
x
[(4.24)]
1
rotV 2 rotV
2
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
(5.3)
5

6.

Потенциал скорости
Vz Vy
Vx Vz
rotV 0
0;
z
x
z
y
Введём скалярную функцию
Vx
x, y , z
Vy Vx
0;
0.
y
x
(5.4)
так, чтобы выполнялись равенства
; Vy
; Vz
.
x
y
z
(5.5)
Подстановка (7.4) в (7.3) даёт тождества
2
y 2
z
0;
y
z y z y z
x z 2 2
0;
x z x z x
z
2
2
y
x
0.
x
y y x x y
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
(5.6)
6

7.

Потенциальное течение
Из (5.5) следует
Следовательно
V iVx jVy kVz
(5.7)
V i
j
k
x
y
z
(5.8)
grad i
j k
x
y
z
V grad i
j
k
.
x
y
z
(5.9)
(5.10)
Определение. Течение, для которого существует функция
(x,y,z) называется потенциальным течением.
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
7

8.

Потенциальное и безвихревое течения
Безвихревое течение
Потенциальное течение
rotV 0
V grad
(5.11)
(5.12)
Определение. Любое безвихревое течение является потенциальным и
наоборот, любое потенциальное течение является безвихревым.
Безвихревое течение эквивалентно потенциальному течению
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
8

9.

Уравнение Лапласа
rotV rot grad 0
Уравнение вида
Поскольку
0
Называется уравнением Лапласа
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 0
x
y
z
x
y
z
Δφ 0
Уравнение Лапласа
(5.13)
(5.14)
ДУЧП второго порядка
ГУ:
1) I-го рода (ГУ Дирихле);
2) II-го рода (ГУ Неймана);
3) III-го рода (ГУ Робина);
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
9

10.

Функция тока
Уравнение неразрывности для несжимаемого потока:
Vx Vy Vz
0
x
y
z
divV 0
[(4.40)]
Рассмотрим для краткости 2D течение
(5.15)
Введём скалярную функцию ψ(x,y), так чтобы выполнялись условия
(5.16)
Подстановка в уравнение неразрывности даёт тождество
2
2
0
y x x y
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
10

11.

Функция тока
Рассмотрим уравнение линии тока.
Дифференциальное уравнение линии тока:
[(4.18)]
(5.17)
Вдоль линии тока функция ψ(x, y)=const. Функция ψ(x, y) получила название
функции тока.
Определение. Скалярная функция, сохраняющая постоянное
значение вдоль линии тока называется функцией тока.
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
11

12.

Трубка тока, струйка тока
Линии тока никогда не пересекаются. Каждую линию тока можно
рассматривать как границу твердого тела.
Определение 1. Линии тока пересекающие в пространстве
замкнутую кривую образуют трубку тока
Определение 2. Жидкость, протекающая
по трубке тока называется струйкой.
Рисунок 5.1 – Трубка тока
Определение 3. Если поперечное сечение
трубки тока бесконечно мало (dS), то
такая трубка называется элементарной
трубкой тока, а струйка - элементарной
струйкой.
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
12

13.

Гидродинамический смысл функции тока
Рисунок 5.2 – К гидродинамическому смыслу функции
тока
Вычислим секундный расход жидкости между двумя линиями тока
dQ udy vdx
dy
dx d
y
x
Q
M1
M1
dQ d
M0
1
0
(5.18)
(5.19)
M0
Следовательно, разность значений функций тока в двух какихнибудь точках потока равна секундному объёмному расходу
жидкости сквозь сечение трубки тока, ограниченной линиями
тока, проходящими через выбранные точки.
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
13

14.

Уравнение Лапласа для функции тока
Воспользуемся условием безвихревого 2D течения
v u
0
x y
[(4.24)]
Функция тока определяется формулами
u
, v
y
x
[(5.16)]
Подстановка (5.16) в (4.24) даёт
2 2
2 2 0
x
y
Уравнение
0
2 2
2 0
2
x
y
(5.17)
- уравнение Лапласа для функции тока
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
14

15.

Краевая задача Дирихле
для уравнения Лапласа
0
[(5.18)]
Граничные условия
x Q(y), x Q(y), S 0.
(5.19)
Последнее условие на поверхности тела называется
условием непротекания.
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
15

16.

Наложение потенциальных потоков
Пусть имеется n потенциальных течений с потенциалами скоростей
2 k 2 k 2 k
2 0
2
2
x
y
z
1 k n
(5.20)
Суммирование уравнений Лапласа (8.1) даёт
2 n
2 n
2 n
2 k 2 k 0
2 k
x k 1
y k 1
z k 1
Обозначение
n
k 1
k
приводит к уравнению Лапласа
(5.21)
0
Любой потенциальный поток НИЖ можно представить как
результат наложения друг на друга более простых
потенциальных течений.
n
n
n
V grad grad k grad k Vk
k 1
k 1 k 1
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
(5.22)
16

17.

Условия Коши-Римана. Ортогональность линий
u
, v
x y
y
x
(5.23)
,
x y
y
x
(5.24)
grad grad 0
- условия C-R
- ортогональность линий
(5.25)
u v v u 0
x x y y
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
17

18.

Комплексный потенциал
Согласно теореме Римана условия Коши-Римана являются условиями
существования аналитической функции
w z x, y i x, y z x iy i 1
(5.26)
Функция w(z) называется комплексным потенциалом
x, y Re w z , x, y Im w z
x, y C
- эквипотенциали
x, y C '
- линии тока
dw dw d i
i
u iv,
dz dx
dx
x
x
id i d i
dw
dw
i
u iv
dz d iy
dy
dy
y
y
dw
dw
u Re
;
v
Im
.
dz
dz
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
(5.27)
(5.28)
(5.29)
18

19.

V u i v V cos i sin V ei - комплексная скорость
V u i v V cos i sin V e i - сопряжённая комплексная скорость
dw
.
dz
dw
V V
.
dz
V u iv
(5.30)
(5.31)
Плоскость xOy называют физической
плоскостью или плоскостью течения.
Совокупность значений комплексной
скорости V образует плоскость
годографа скорости, или просто
плоскость годографа.
Рисунок 5.3 – Годограф скорости
Vdz udx vdy d ,
Im Vdz udy vdx d Q.
Re
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
(5.32)
19