Вихревое течение. Теорема Томсона

1. Лекция 2 «Гидродинамика идеальной жидкости»

Содержание
1. Вихревое течение. Теорема Томсона.
2. Потенциальное течение идеальной жидкости.
3. Метод комплексного потенциала.

2.

2 разновидности линий тока
Вихревое течение
v
r
0
Имеются источники и стоки
(погашение течения на )
Линии тока не замкнуты
vdl
Циркуляция
L
v
2 r
Имеется ось симметрии течения O
с неподвижными точками течения
Линии тока замкнуты
(источники, стоки отсутствуют)
На круговой линии тока v||dl, |v| const
vdl vdl v dl v2 r
L
L
L

3.

Теорема Томсона:
Циркуляция по «жидкому» контуру L, - т.е. по контуру, движущемуся
вместе с жидкостью, при изоэнтропическом течении не меняется
со временем
d d
dv
d
vdr dr v dr
dt dt L
dt
dt
L
L
L
Вклад в циркуляцию
r dr из-за изменения потока
со временем
dr
Вклад в циркуляцию
из-за изменения
контура
r
1)
dv
dt dr wdr
L
L
т.к. из уравнения Эйлера
1
w – энтальпия (термодинамика): dw Tds dp
dv
p
w
dt
1
dw s const dp

4.

По теореме
Стокса:
Adr rot AdS
wdr grad wdr rot(grad w)dS 0
L
L
S
L
S
dv
dt dr 0
L
v2
d
dr
2) v (dr ) vd
vdv d 0
dt
dt L
2
L
L
L
v
L
Подынтегральная
функция – полный
дифференциал.
Поэтому интеграл
вдоль замкнутого
контура = 0
d
(dr ) 0
dt
Равенства нулю обеих интегралов дает в итоге
теорему Томсона: Г const
0
d
0
dt
что доказывает

5.

Течение жидкости, для которого rot v 0 называется потенциальным или
безвихревым. Тогда
потенциал
v grad
Вместо определения векторного поля течения жидкости v v(r,t) имеем
более простую задачу определения скалярного поля
Уточнение понятия потенциальности течения на основе теоремы Томсона
L
L – предельно малый контур вокруг
произвольной точки на линии тока
vdl rot vdS rot v S const
L
S
из-за стягивающегося к точке линии тока контура
величина rotv в пределах площади контура постоянна

6.

Потенциальность течения rotv 0 – частное следствие теоремы Томсона
при Г 0. Нулевая циркуляция должна соблюдаться для всех точек на
линиях тока
Для течений реальных жидкостей это условие выполняется не всегда.
Парадокс Даламбера (обтекание цилиндра)
Сохранение нулевой циркуляции невозможно для линий тока,
проходящих, хотя бы частично, по поверхности обтекаемого тела,
т.к. на участках обтекания тела контур L уже невозможно замкнуть,
что значило бы его проникновение внутрь тела.

7.

Примерная линия тока, вдоль которой нарушается условие нулевой
циркуляции, показана на левом рис. штриховой кривой, состоящей из
двух горизонтальных участков априорно с нулевой циркуляцией и
замкнутого контура обтекания с точками ненулевой циркуляции.
Другой пример - картина отрывного течения жидкости на правом рис. ,
когда за быстро движущимся телом образуется полость (каверна).
Границы полости вместе с участком обтекания тела, показанные
жирной линией, представляют линию тока в точках которой не
выполняется сохранение нулевой циркуляции из-за невозможности
продолжения контура.
Существование наряду с "правильными" линиями тока (тонкие
сплошные линии на левом и правом рисунках) линий тока с
несохраняющейся циркуляцией (критические линии тока), выражает
неоднозначность решений уравнений гидродинамики идеальной
жидкости, вытекающей из недостаточной адекватности ее модели.
Критические линии тока с участками ненулевой циркуляции
оказываются источниками вихреобразования (средний рисунок).

8.

Вследствие вихреобразования симметричная картина течения
и распределения давления относительно вертикальной оси пропадает
Симметричная картина распределения давления по верхней части
цилиндра обуславливает отсутствие силы сопротивления,
действующей на цилиндр (парадокс Даламбера)
Л. Эйлер объяснил происхождение парадокса неадекватностью
модели идеальной жидкости, не учитывающей вязкость.

9.

Общие требования
• плоские потенциальные стационарные течения идеальной
несжимаемой жидкости: =const, t=0, v/ t=0
Уравнение
неразрывности
Уравнение Эйлера с учетом P 0, v/ t=0 и равенства
0
дополнительно к rot(v) 0
дает закон Бернулли

10. Потенциал  определяет скорость течения: v и удовлетворяет уравнению Лапласа:

Потенциал определяет скорость течения:
и удовлетворяет уравнению Лапласа:
v
Линии тока: в 2-х мерном случае (x,y) const
y
2) линии тока ортогональны
линиям равного потенциала
(x,y) const
vy
условия аналитичности Коши-Римана
vx
x
x

11.

Комплексный потенциал W(z)= (x,y) i (x,y)
z x+iy
Отображение z W(z) определяет функции и ,
описывающие течение идеальной жидкости
Требования к отображению z W(z):
1) аналитичность функции W
2) сохранение углов (ортогональность)
3) однолистность

12.

1. Течение в угловой области

13.

Картина линий тока в остроуголовой области

14.

Течение в области тупого угла

15.

Течение в угловой области /2

16.

2. Горизонтальное течение со стенкой
1
Конформное преобразование
w (iz 1) 1
iz
1

17.

18.

19.

Обтекание цилиндра
Конформное преобразование:
R2
w z
z
R=1

20.

21.

Обтекание крыла (задача Жуковского)
Конформное преобразование
W ( z)
e
e
i
2
2
a z a z
a z a z
y
z
-a
i
-a
w
x