Классическая электродинамика. Дополнительные главы физики. Уравнения Максвелла

1. Классическая электродинамика. Введение в классическую электродинамику. Дополнительные главы физики.

Николай Николаевич Рόзанов
февраль-июнь 2016

2. ВВЕДЕНИЕ

Теория электромагнитного поля как раздел курса
«Физические основы квантовой электроники». Основное
внимание - электромагнитным волнам и их оптическому
диапазону. Связь теории электромагнитного поля с другими
разделами физики. Оптические среды.
Роль электромагнитных волн. Сравнение с акустическими и
другими волнами (теория волн). Фотоны – элементарные
частицы (а не квазичастицы, как фононы). Эфир и вакуум.
Линейные и нелинейные волны.

3. Уравнения Максвелла в сплошной среде

СГС
Закон Гаусса
СИ
D 4
div D 4
Закон Гаусса
для магнитного
поля
B 0
div B 0
Закон индукции E 1 B
c t
Фарадея
rot E
Теорема о
циркуляции
магн. поля
---------------
1 B
c t
D
B 0
B
E
t
4
1 D
D
H
j
c
c t H j
t
4
1 D
__________________
rot H
j
c
c t
Электрический заряд
является источником
электрической
индукции
Не существует
магнитных зарядов
Изменение
магнитной индукции
порождает вихревое
электрическое поле
Электрический ток и
изменение
электрической
индукции
порождают вихревое
магнитное поле

4. Уравнения Максвелла, интегральная форма

СГС
СИ
Закон Гаусса
Закон Гаусса
для магн. поля
Закон
индукции
Фарадея
D ds 4 Q
D ds Q
S
S
B ds 0
B ds 0
S
S
Поток магнитной индукции через замкнутую
поверхность S равен нулю
1d
E dl c dt B ds
l
d
E dl dt B ds
S
l
S
Теорема о
4
1d
циркуляции H dl c I c dt D ds
магнитного
d
H dl I dt D ds
поля
l
S
l
Поток электрической индукции через
замкнутую поверхность S пропорционален
величине свободного заряда, находящегося
внутри поверхности S
S
Изменение потока магнитной индукции,
проходящего через незамкнутую поверхность
S, взятое с обратным знаком,
пропорционально циркуляции электрического
поля на замкнутом контуре l, который является
границей поверхности S
Полный электрический ток свободных
электронов и изменение потока электрической
индукции через незамкнутую поверхность S
пропорциональны циркуляции магнитного
поля на замкнутом контуре l, который является
границей поверхности S
S – двумерная поверхность, замкнутая для теоремы Гаусса и открытая для законов Фарадея и Ампера (ее границей
является замкнутый контур). Q dv – электрический заряд внутри объема V, ограниченного поверхностью S.
v
I j ds – электрический ток, протекающий
через поверхность S.
S

5. Справочные формулы

В декартовых
координатах
( , V) div V
S
S
S
e x e y e z S grad S
ex e y ez
x
y
z
x
y
z
Vy
Vx
V
z
x
y
z
ex
ey
ez
[ V ] rot V / x / y / z
В цилиндрических e 1 e e
r
z
r
r
z
координатах
Vx
grad S
Vy
Vz
S
1 S
S
er
e e z
r
r
z
1 (rVr ) 1 V Vz
div V
r r
r
z
1 Vz V
1 (rV ) 1 Vr
Vr Vz
rot V
e
e
z
r
r
z
r
r r
ez

6. Справочные формулы

В сферических координатах
grad S
1 S
1 S
S
e
e er
r
r sin
r
1 (r 2Vr )
1 V
1 (sin V )
div V 2
r
r
r sin r sin
1 Vr 1 (rV )
1 (rV ) Vr
rot V
e
r r
r sin r r
1 (sin V ) V
e
r sin
er

7. Материальные уравнения

Соотношения между D, B, E и H
В вакууме D = E, B = H
В среде материальные уравнения могут иметь вид
нелокальных по времени и пространству и нелинейных
соотношений (будут приведены позже).

8. Упражнения (векторный анализ)

1. Радиус-вектор r xe x ye y ze z . div r ? rot r ?
1
2
2
2
2. S ln
x y z . grad S ?
w
3. Доказать : div( SV ) S div V (V, grad S ).
4. Доказать : div rot V 0. дом. задание
5. Доказать : rot grad S 0. дом. задание

9. Упражнения

Вывести из уравнений Максвелла закон Кулона для
точечного заряда в вакууме. Проверить выполнение
всех уравнений Максвелла.
Найти напряженность эл. поля шара с равномерной
плотностью заряда.
Найти напряженность эл. поля кольцевого слоя с
равномерной плотностью заряда. - дом. задание
Найти распределение плотности заряда, если известно
распределение напряженности эл. поля E Ar nr,
где А и n – постоянные, r xe x ye y ze z , r | r |
Пояснить физический смысл результата при n = -3.

10. Уравнение непрерывности

div D 4
4
1 D
rot H
j
c
c t
1
D c
4
=
div
div rot H
t 4
t 4
c
div j 0
t
div rot V 0
j div j
Закон сохранения электрического заряда
dQ
dV div j dV j dS 0
dt V t
V
S
Q dV
V
dQ
0
dt

11. «Площади» э.-м. поля

Рассматриваем ограниченные в пространстве и времени
пакеты поля (с конечной энергией)
1 B
rot E
c t
Интегрируем по времени в бесконечных пределах
rot S E 0, S E
E dt
– «площадь» электрич. поля
– безвихревой вектор
Интегрируем по пространству (объему) в бесконечных пределах
d
S B 0, S B B d 3r
dt
– «площадь» магнитного поля
– сохраняется
Эти общие (для любого вида материальных
уравнений) соотношения полезны для контроля
точности моделирования динамики поля.

12. Уравнения Максвелла в вакууме (СГС)

Учебное пособие: Н.Н. Розанов. Специальные разделы мат.
физики. Ч.I. Электромагнитные волны в вакууме. 2005.
D = E, B = H, ρ = 0, j = 0
1 H
div H 0
rot E
c t
1 E
div E 0
rot H
c t
Условия применимости:
1. Инерциальная система отсчета
2. Гравитационные эффекты
3. Квантовые ограничения для слабых и сильных полей

13. Квантовые ограничения в слабых полях

Уравнения Максвелла отвечают континуальному (а не
дискретному) описанию. Поэтому для их справедливости
число фотонов в основных модах N должно быть велико:
N >> 1. Этот фактор важен при анализе шумов излучения
и сжатых состояний электромагнитного поля (квантовая
оптика).

14. Квантовые ограничения в сильных полях

В уравнениях Максвелла не учитываются вероятность
рождения электрон-позитронных пар и эффекты
поляризации вакуума. Необходимое условие пренебрежения
этими эффектами: E Ecr m2c3 / (| e | )
(изменение энергии заряда |e| в поле напряженности E на
расстоянии равном комптоновской длине волны электрона RC
= h /(mc) = 2.4 10^(-10) см должно быть много меньше mc^2 ,
m – масса электрона, h – постоянная Планка, ħ = h / 2π ). В
мощных лазерных установках достигаются напряженности
полей, близкие к критическим. Последовательная теория
дается квантовой электродинамикой.
Приближенно электромагнитное поле в электронпозитронном вакууме описывается уравнениями
электродинамики сплошных сред. Комптоновская длина
волны электрона описывает его «размазанность», при
меньших расстояниях классическая теория неприменима.

15. Симметрия уравнений Максвелла в вакууме

1 H
rot E
c t
div H 0
1 E
rot H
c t
div E 0
E H, H E
t t , E E, H H
t t , E E, H H
Равноправность Е и Н в вакууме без зарядов.
Равноправность направлений течения времени
(в классическом вакууме нет диссипации энергии)

16. Векторная структура уравнений Максвелла

div D 4
1 B
rot E
c t
div B 0
4
1 D
rot H
j
c
c t
ρ – скаляр (плотность эл. заряда)
E, D, j – полярные трехмерные векторы
H, B – аксиальные трехмерные векторы
При зеркальном отражении направление полярных векторов не
меняется, а для аксиальных сменяется противоположным. Ср. с силой
Лоренца
1
F q E [ v H]
c
Различие полярных и аксиальных векторов существенно для записи
нелинейных восприимчивостей.

17. Волновое уравнение

div D 4
1 B
rot E
c t
div B 0
Немагнитные среды
rot rot V grad div V V
4
1 D
rot H
j
c
c t
M 0, B H
1 2D
4 j
rot rot E 2 2 2
c t
c t
Не все решения волнового уравнения служат решениями уравнений
Максвелла, поскольку эти решения могут не удовлетворять
уравнению div D 4 . Фактически это соотношение накладывает
ограничения на поляризационную структуру излучения. Таким
образом, при исключении из уравнений Максвелла магнитных
величин к волновому уравнению следует добавить уравнение div D 4

18. Динамика э.-м. поля

div D 4
div B 0
1 B
rot E
c t
4
1 D
rot H
c
j
c t
При заданных материальных соотношениях возможна
постановка задачи Коши – по начальным данным (t t0 )
определяется последующие значения полей.
Динамических уравнений два (содержащих временную
производную 1-го порядка; частотной дисперсией здесь
пренебрегаем). Два «статических» уравнения ограничивают
вид начальных условий.
Пример – вакуум без зарядов ( D E, B H, 0, j 0 )

19. Динамика э.-м. поля в вакууме

1 H
rot E
c t
1 E
rot H
c t
div H 0
div E 0
Уравнения Максвелла содержат производные по времени первого
порядка. Поэтому задания напряженностей Е и Н в начальный
момент времени достаточно для определения дальнейшей
динамики поля (+ граничные условия).
E t 0 E0 (r), H t 0 H0 (r)
Метод численного расчета: FDTD – finite-difference
time-domain. – тема для итоговой презентации

20. Начальные условия (вакуум)

не произвольны. Они должны подчиняться условиям
div H0 (r) 0
div E0 (r) 0
Если это так, то и в последующие моменты времени значения
div H, div E останутся нулевыми, так как {div rot V = 0}
E
div E div
c divrot H 0,
t
t
div H ... 0
t
Из-за уравнений Максвелла с div произвольно можно задавать
только по две компоненты векторов Е0 и Н0, эти уравнения
определяют вид третьих компонент. Например, пусть заданы
H 0, x (r ), H 0, y (r ). Тогда (f – произвольная функция своих аргументов)
z
H 0, z
H 0, x H 0, y
H 0, x H 0, y
, H 0, z
dz f ( x, y )
z
x
y
x
y
z0

21. Динамика поля (задача Коши)*

E |t 0 E 0 (r ), H |t 0 H 0 (r ).
Поскольку уравнения Максвелла – первого порядка по
времени, то начальные условия позволяют определить
значения напряженностей электрического и магнитного
полей в последующие моменты времени.
Разложения Тейлора для малых интервалов времени:
E
1 2E
1 nE
2
n
E(r, t ) E(r,0)
t
t
...
t
...,
2
n
t t 0
2! t t 0
n! t t 0
H
H(r, t ) H(r,0)
t
1 2H
t
2
2
!
t
t 0
1 nH
t ...
n
n
!
t
t 0
t n ...
2
t 0

22. Динамика поля*

E
H
c rot H,
c rot E,
t
t
2E
H
2
2
2
c
rot
c
rot
rot
E
c
rot
E,
2
t
t
3E
3H
3
3
3
3
c
rot
E
,
c
rot
H,
3
3
t
t
4E
4H
4
4
4
4
c
rot
E
,
c
rot
H, ...
4
4
t
t
2H
2
2
c
rot
H,
2
t
( 1) n 2 n 2n
( 1) n 2 n 1 2n-1
2n
E(r, t )
c rot E 0 (r ) t
c rot H 0 (r ) t 2 n 1 ,
n 0 ( 2n)!
n 1 ( 2n 1)!
( 1) n 2 n 2n
( 1) n 2 n 1 2n-1
2n
H(r, t )
c rot H 0 (r ) t
c rot E 0 (r ) t 2 n 1 .
n 0 ( 2n)!
n 1 ( 2n 1)!

23. Динамика поля*

rot rot V grad div V V
rot 2 E E, rot 2 H H.
1 2n n
1
2n
E(r, t )
c E 0 (r ) t
c 2 n 1 rot n -1 H 0 (r ) t 2 n 1 ,
n 0 ( 2n)!
n 1 ( 2n 1)!
1 2n n
1
2n
H (r, t )
c H 0 (r ) t
c 2 n 1 rot n -1E 0 (r ) t 2 n 1 .
n 0 ( 2n)!
n 1 ( 2n 1)!

24. Задания

В начальный момент t = 0 заданы E t 0 [a r], H t 0 [b r].
Найти последующие значения напряженностей.
– дом. задание
В некоторый момент времени заданы компоненты
Ex pyz exp[ ( x2 y 2 z 2 ) / w2 ], Ez qxy exp[ ( x2 y 2 z 2 ) / w2 ].
Найти вид третьей компоненты E в тот же момент времени.

25. Эволюционная переменная, пример уравнения Гельмгольца

1 2D
E graddiv E 2 2 0
c t
Однородная среда (вакуум), монохроматическое излучение с
частотой ω
2
2
2
E k E 0, k
c2
Фиксированная (линейная) поляризация. Одна из
компонент поля f (пример Адамара)

26. Задача Коши для уравнения Гельмгольца

2
2
2
f
2
f k 2 f 0,
f
k
f 0, 2 2
2
z
x y
Рассмотрим пучок монохроматического излучения
с преимущественным направлением вдоль оси z
Зададим при z = 0 значения f и
f
z 0
f
z
f / z
a
cos(q r ), r ( x, y ), q ( qx , q y ), q qx2 q 2y , a const
q
0
z 0
Решение уравнения Гельмгольца
(разделение переменных)
a
f (r , z ) ch( q 2 k 2 z ) cos(q r )
q

27. Задача Коши для уравнения Гельмгольца

a
f (r , z ) ch( q 2 k 2 z ) cos(q r )
q
Предел
q
f
z 0
f
0,
z
При конечных z
0
z 0
f
При нулевых (в пределе) начальных данных есть решение,
стремящееся при конечных z к бесконечности. Но при таких
начальных данных есть и нулевое решение.
Нет непрерывной зависимости решения от начальных данных.
Постановка задачи некорректна.
Физ. смысл – встречные волны.

28. Ковариантная формулировка уравнений Максвелла в вакууме. Тензоры электромагнитного поля

•Напряженности электрического и магнитного полей не
абсолютны и имеют разную величину в различных
инерциальных системах отсчета, движущихся относительно
друг друга со скоростью V.
•Задача – показать релятивистскую инвариантность уравнений
Максвелла и найти преобразования Лоренца для
электромагнитного поля.
•Форма записи уравнения будет релятивистски инвариантной,
если оно записано в терминах скаляров, 4-векторов и тензоров,
для которых известны преобразования Лоренца.

29. Ковариантная формулировка …*

Вводим 4-мерное пространство-время с координатами xk, k = 0, 1, 2, 3
x0 ct , x1 x, x2 y, x3 z.
Другая инерционная система координат
x
'
k
Преобразование Лоренца в частном случае , когда
скорость V имеет только x-компоненту
V
V
x1
x1 x0
c , x
c , x x , x x .
x0
1
2
2
3
3
2
2
V
V
1 2
1 2
c
c
V
V
x0 x1
x1 x0
c , x
c , x x , x x .
x0
1
2
2
3
3
2
2
V
V
1 2
1 2
c
c
x0

30. 4-векторы

Ковариантный 4-вектор (нижние индексы)
xk
Ai
Ak , i 0, 1, 2, 3.
k 0 xi
3
Контравариантный 4-вектор (верхние индексы)
xi k
A
A .
k 0 x k
3
i
Напряженности электрического и магнитного полей
не составляют 4-вектора.

31. 4-тензоры

ковариантный (нижние индексы)
x j xl
Bik
B jl
k 0 xi x k
3
контравариантный (верхние индексы)
xi xk jl
B
B
k 0 x j xl
3
ik

32. Тензор электромагнитного поля

0
E1
Fik
E2
E3
F
ik
0
E1
E2
E3
Антисимметрия
E1
E2
0
H3
H3
0
H2
H1
E1
E2
0
H3
H3
0
H2
H1
E3
H2
H1
0
E3
H2
.
H1
0
Fik Fki , F ik F ki .

33. Преобразование Лоренца напряженностей э.-м. поля (спец. случай)

E x E x ,
H x H x ,
V
V
E y H z
E z H y
c
c
Ey
, Ez
,
2
2
V
V
1 2
1 2
c
c
V
V
H y E z
H z E y
c
c
Hy
, Hz
.
2
2
V
V
1 2
1 2
c
c

34. Ковариантная форма уравнений Максвелла

Fik Fkl Fli
0,
xl
xi xk
F ik
0.
k 0 x k
3

35. Инварианты

3
1
E2 H 2 Fik F ik inv,
2 i,k 0
(E, H ) inv.

36. Тензор энергии-импульса э.-м. поля

U
00
U 0i
U ik
1
U 00
( E 2 H 2 ),
8
1
Симметрия по индексам ?
U 0i
[ E H ]i ,
4
1
1
U ik
( Ei E k H i H k )
ik ( E 2 H 2 ) , i, k 1, 2, 3.
4
8
Символ Кронекера ik 1 при i = k и 0 в противном случае.
U 00 - плотность э.-м. энергии, U 0 i - плотность потока энергии.
Тензор энергии-импульса (поля и среды) служит источником
искривления пространства-времени в уравнениях тяготения
Эйнштейна.

37. Задания

1. Найти напряженности электрического и магнитного полей
точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью.
2. Проверить инвариантность величин
и (E,H).
3. Проверить, что ковариантная запись уравнений
Максвелла приводит к стандартной записи при различном
выборе индексов.
- это все дом. задания

38. Уравнение распространения фронта электромагнитной волны

Ранее мы решали задачу Коши, то есть по начальным
данным
(при t = 0) о напряженностях поля определяли последующую
динамику поля. Это возможно, так как уравнения Максвелла
в вакууме содержат только первые временные производные
напряженностей. Более общая постановка задачи динамики:
Уч. пособие, стр. 13-17

39. Законы сохранения для э.-м. поля в вакууме

Уч. пособие, стр. 17-20

40. Потенциалы поля и волновое уравнение Уч. пособие, стр. 20-22

41. Одномерное волновое уравнение - решение Даламбера Уч. пособие, стр. 22-24.